역제곱 벡터장

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 1월 12일 (토) 10:58 판 (찾아 바꾸기 – “<br><math>” 문자열을 “:<math>” 문자열로)
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개요

  • n 차원에서 정의된 벡터장\[\mathbf{F}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\]
  • 중력장과 전자기장에서 중요한 역할
  • \(\phi(\mathbf{r})=-\frac{1}{|\mathbf{r}|}\)  를 포텐셜로 가짐
  • \(\nabla\times\mathbf{F}=0\)
  • \(\nabla\cdot\mathbf{F}=0\)

 

 

적분의 응용

  • 3차원에서의 벡터장을 생각하자
  • 바깥쪽으로 향이 주어진 단위구면 S에 대하여, 다음을 얻는다\[\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi\]
  • (정리)\[\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\] 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\)가 존재하지 않는다
    (증명)\[\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\] 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\) 를 가정하자.
    스토크스 정리 를 적용하면, \(\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=\iint_S\ (\nabla\times\mathbf{G})\cdot\,d\mathbf{S}=\int_{\partial S}\mathbf G\cdot d\mathbf{r}=0\) 을 얻는다. 그러나\[\iint_{S}\mathbf F\cdot\,{d}\mathbf{S}=4\pi\] 이므로 모순. ■
  • \(\nabla\cdot\mathbf{F}=0\) 이라고 해서 \(\nabla\times\mathbf{G}=\mathbf{F}\) 를 만족시키는 벡터장 \(\mathbf{G}\)가 반드시 존재하는 것은 아니다
  • obstruction : second homotopy group, second cohomology group

 

 

 

 

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