"연분수와 유리수 근사"의 두 판 사이의 차이

2009년 5월 16일 (토) 21:43 판

연분수

\(\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)

연분수와 유리수 근사

유리수 근사와 황금비(i)

무리수 \(\alpha\) 에 대하여,

\(|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)

는 무한히 많은 유리수 \(\frac{p}{q}\) 에 의하여 만족된다.

유리수 근사와 황금비(ii)

위의 정리에서 \(\sqrt{5}\) 보다 작은 수(예를 들자면 2) 가 있어도 정리는 참이지만, \(\sqrt{5}\) 보다 큰 수는 불가능하다.

임의의 \(0<h<1\) 에 대하여

\(|\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}|<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}\)

가 유한히 많은 유리수 \(\frac{p}{q}\)에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.

(증명)

위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 \(|\theta|<h<1\)에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)

\(\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)

\(5q^2\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}=\theta^2\)

\((p^2-pq-q^2)-\theta\) 는 양수이고, 정수 \(p^2-pq-q^2\)는 0이 될 수 없으므로, \(p^2-pq-q^2\geq1\)

따라서,

\(q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}\)

그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 \(q\) 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 \(q\)에 대하여, 오직 유한히 많은 \(p\) 만이 부등식을 만족시킨다. (증명끝)

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 <h5>참고할만한 자료</h5>
+*  Solving the Pell Equation, Volume 49, Number 2<br>
+** http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EB%B6%84%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수]
 * http://en.wikipedia.org/wiki/continued_fraction