"연분수와 유리수 근사"의 두 판 사이의 차이
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2012년 9월 8일 (토) 14:31 판
연분수
\(\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)
\(\frac{-1+\sqrt5}{2}=\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)
\(-1+\sqrt{2}=\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\)
연분수와 유리수 근사
- 무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 다음 부등식
\[|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}\] 을 만족시키는 경우, \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다
유리수 근사와 황금비
유리수 근사와 황금비(i)
- (후르비츠의 정리)
무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
\[|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\]
는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.
유리수 근사와 황금비(ii)
후르비츠의 정리에서 \(\sqrt{5}\) 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, \(\sqrt{5}\) 보다 큰 수는 불가능하다.
임의의 \(0<h<1\) 에 대하여
\(|\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}|<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}\)
가 유한히 많은 유리수\(p/q\)에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.
(증명)
위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 \(|\theta|<h<1\)에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.
\(\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)
\(\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)
\(5q^2\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}=\theta^2\)
\((p^2-pq-q^2)-\theta\) 는 양수이고, 정수 \(p^2-pq-q^2\)는 0이 될 수 없으므로, \(p^2-pq-q^2\geq1\)
따라서,
\(q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}\)
그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 \(q\) 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 \(q\)에 대하여, 오직 유한히 많은 \(p\) 만이 부등식을 만족시킨다. ■
연분수의 재미있는 응용
메모
- 네이버 지식인
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수
- http://en.wikipedia.org/wiki/continued_fraction
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem _on _diophantine _approximation
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27 s_continued _fraction
- http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFractionConstant.html
관련논문
- Solving the Pell Equation
- Lenstra, Noitces of AMS, Volume 49, Number 2
- Fractions
- L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
관련도서
관련링크와 웹페이지
- 연분수 계산기 Continued Fraction Calculator
관련기사
블로그
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