"연분수와 유리수 근사"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (사용자 3명의 중간 판 37개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==연분수== | |
| − | + | <math>\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math> | |
| − | + | <math>\frac{-1+\sqrt5}{2}=\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}</math> | |
| − | + | <math>-1+\sqrt{2}=\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}</math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==연분수와 유리수 근사== | |
| − | < | + | * 무리수 <math>\alpha</math>에 대하여, 유리수 <math>p/q</math>가 다음 부등식 |
| + | :<math>\left | \alpha-\frac{p}{q} \right |<\frac{1}{2{q^2}}</math> | ||
| + | 을 만족시키는 경우, <math>p/q</math>는 무리수 <math>\alpha</math>의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | * [[ | + | ==유리수 근사와 황금비== |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | ===유리수 근사와 황금비(i)=== | ||
| + | ;정리 (후르비츠) | ||
| + | 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식 | ||
| + | |||
| + | :<math>\left | \frac{p}{q}-\alpha \right |<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math> | ||
| + | |||
| + | 는 무한히 많은 유리수<math>p/q</math> 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 <math>\sqrt{5}</math> 는 더 큰 수로 대체될 수 없다. | ||
| + | |||
| + | * [[무리수와 디오판투스 근사]] | ||
| − | + | ===유리수 근사와 황금비(ii)=== | |
| − | + | 후르비츠의 정리에서 <math>\sqrt{5}</math> 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, <math>\sqrt{5}</math> 보다 큰 수는 불가능하다. | |
| − | < | + | 임의의 <math>0<h<1</math> 에 대하여 |
| − | + | <math>\left | \frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right |<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}</math> | |
| − | + | 가 유한히 많은 유리수<math>p/q</math>에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다. | |
| − | |||
| − | + | ;증명 | |
| − | + | 위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 <math>|\theta|<h<1</math>에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다. | |
| − | |||
| − | + | <math>\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}</math> | |
| − | + | ||
| − | < | + | <math>\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}</math> |
| − | + | ||
| − | + | <math>5q^2 \left \{ (p^2-pq-q^2)-\theta \right \} =\theta^2</math> | |
| − | + | ||
| − | + | <math>(p^2-pq-q^2)-\theta</math> 는 양수이고, 정수 <math>p^2-pq-q^2</math>는 0이 될 수 없으므로, <math>p^2-pq-q^2\geq1</math> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | 따라서, | |
| − | < | + | <math>q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}</math> |
| − | + | 그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 <math>q</math> 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 <math>q</math>에 대하여, 오직 유한히 많은 <math>p</math> 만이 부등식을 만족시킨다. ■ | |
| − | |||
| − | + | ==연분수의 재미있는 응용== | |
* [[달력의 수학]] | * [[달력의 수학]] | ||
| − | |||
* [[수학과 음악]] | * [[수학과 음악]] | ||
* [[타자의 타율과 연분수]] | * [[타자의 타율과 연분수]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련된 고교수학 또는 대학수학== | |
| + | |||
| + | * [[초등정수론]] | ||
| + | * [[초등정수론의 토픽들]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | ==관련된 항목들== | ||
| + | |||
| + | * [[펠 방정식(Pell's equation)|펠 방정식]] | ||
| + | * [[달력의 수학]] | ||
| + | * [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수]] | ||
| + | * [[수학과 음악]] | ||
| + | * [[타자의 타율과 연분수]] | ||
| + | * [[황금비]] | ||
| − | + | * [[수학사 연표]] | |
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
| − | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수 |
| − | * http://en.wikipedia.org/wiki/ | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/continued_fraction |
| − | * http:/ | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem _on _diophantine _approximation |
| − | + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27 s_continued _fraction | |
| − | * http:// | + | * http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFractionConstant.html |
| − | * | + | |
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==관련논문== | |
| − | * | + | * [http://www.ams.org/notices/200202/fea-lenstra.pdf Solving the Pell Equation] |
| − | + | ** Lenstra, Noitces of AMS, Volume 49, Number 2 | |
| − | ** | + | * [http://www.jstor.org/stable/2302799 Fractions] |
| − | * | + | ** L. R. Ford, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601 |
| − | ** | ||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==관련도서== | |
| + | * http://www.cambridge.org/au/academic/subjects/mathematics/number-theory/neverending-fractions-introduction-continued-fractions?format=PB | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==관련링크와 웹페이지== | |
| − | * http:// | + | * 연분수 계산기 [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html Continued Fraction Calculator] |
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | [[분류:정수론]] | |
| + | [[분류:초등정수론]] | ||
| + | [[분류:연분수]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q206816 Q206816] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'continued'}, {'LEMMA': 'fraction'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:53 기준 최신판
연분수
\(\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)
\(\frac{-1+\sqrt5}{2}=\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)
\(-1+\sqrt{2}=\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\)
연분수와 유리수 근사
- 무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 다음 부등식
\[\left | \alpha-\frac{p}{q} \right |<\frac{1}{2{q^2}}\] 을 만족시키는 경우, \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다
유리수 근사와 황금비
유리수 근사와 황금비(i)
- 정리 (후르비츠)
무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
\[\left | \frac{p}{q}-\alpha \right |<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\]
는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.
유리수 근사와 황금비(ii)
후르비츠의 정리에서 \(\sqrt{5}\) 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, \(\sqrt{5}\) 보다 큰 수는 불가능하다.
임의의 \(0<h<1\) 에 대하여
\(\left | \frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right |<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}\)
가 유한히 많은 유리수\(p/q\)에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.
- 증명
위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 \(|\theta|<h<1\)에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.
\(\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)
\(\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)
\(5q^2 \left \{ (p^2-pq-q^2)-\theta \right \} =\theta^2\)
\((p^2-pq-q^2)-\theta\) 는 양수이고, 정수 \(p^2-pq-q^2\)는 0이 될 수 없으므로, \(p^2-pq-q^2\geq1\)
따라서,
\(q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}\)
그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 \(q\) 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 \(q\)에 대하여, 오직 유한히 많은 \(p\) 만이 부등식을 만족시킨다. ■
연분수의 재미있는 응용
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수
- http://en.wikipedia.org/wiki/continued_fraction
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem _on _diophantine _approximation
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27 s_continued _fraction
- http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFractionConstant.html
관련논문
- Solving the Pell Equation
- Lenstra, Noitces of AMS, Volume 49, Number 2
- Fractions
- L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
관련도서
관련링크와 웹페이지
- 연분수 계산기 Continued Fraction Calculator
메타데이터
위키데이터
- ID : Q206816
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'continued'}, {'LEMMA': 'fraction'}]