"연분수와 유리수 근사"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 3개는 보이지 않습니다) | |||
| 24번째 줄: | 24번째 줄: | ||
===유리수 근사와 황금비(i)=== | ===유리수 근사와 황금비(i)=== | ||
| − | + | ;정리 (후르비츠) | |
| − | + | 무리수 <math>\alpha</math> 에 대하여, 부등식 | |
:<math>\left | \frac{p}{q}-\alpha \right |<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math> | :<math>\left | \frac{p}{q}-\alpha \right |<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}</math> | ||
| 43번째 줄: | 43번째 줄: | ||
가 유한히 많은 유리수<math>p/q</math>에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다. | 가 유한히 많은 유리수<math>p/q</math>에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다. | ||
| − | |||
| − | + | ;증명 | |
위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 <math>|\theta|<h<1</math>에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다. | 위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 <math>|\theta|<h<1</math>에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다. | ||
| 68번째 줄: | 67번째 줄: | ||
그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 <math>q</math> 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 <math>q</math>에 대하여, 오직 유한히 많은 <math>p</math> 만이 부등식을 만족시킨다. ■ | 그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 <math>q</math> 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 <math>q</math>에 대하여, 오직 유한히 많은 <math>p</math> 만이 부등식을 만족시킨다. ■ | ||
| + | |||
==연분수의 재미있는 응용== | ==연분수의 재미있는 응용== | ||
| 74번째 줄: | 74번째 줄: | ||
* [[수학과 음악]] | * [[수학과 음악]] | ||
* [[타자의 타율과 연분수]] | * [[타자의 타율과 연분수]] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| 149번째 줄: | 135번째 줄: | ||
| − | + | [[분류:정수론]] | |
| − | + | [[분류:초등정수론]] | |
| − | + | [[분류:연분수]] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | == | + | ==메타데이터== |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q206816 Q206816] |
| − | [ | + | ===Spacy 패턴 목록=== |
| + | * [{'LOWER': 'continued'}, {'LEMMA': 'fraction'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:53 기준 최신판
연분수
\(\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)
\(\frac{-1+\sqrt5}{2}=\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\)
\(-1+\sqrt{2}=\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\)
연분수와 유리수 근사
- 무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 다음 부등식
\[\left | \alpha-\frac{p}{q} \right |<\frac{1}{2{q^2}}\] 을 만족시키는 경우, \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다
유리수 근사와 황금비
유리수 근사와 황금비(i)
- 정리 (후르비츠)
무리수 \(\alpha\) 에 대하여, 부등식
\[\left | \frac{p}{q}-\alpha \right |<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\]
는 무한히 많은 유리수\(p/q\) 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 \(\sqrt{5}\) 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.
유리수 근사와 황금비(ii)
후르비츠의 정리에서 \(\sqrt{5}\) 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, \(\sqrt{5}\) 보다 큰 수는 불가능하다.
임의의 \(0<h<1\) 에 대하여
\(\left | \frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right |<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}\)
가 유한히 많은 유리수\(p/q\)에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.
- 증명
위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 \(|\theta|<h<1\)에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.
\(\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)
\(\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)
\(5q^2 \left \{ (p^2-pq-q^2)-\theta \right \} =\theta^2\)
\((p^2-pq-q^2)-\theta\) 는 양수이고, 정수 \(p^2-pq-q^2\)는 0이 될 수 없으므로, \(p^2-pq-q^2\geq1\)
따라서,
\(q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}\)
그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 \(q\) 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 \(q\)에 대하여, 오직 유한히 많은 \(p\) 만이 부등식을 만족시킨다. ■
연분수의 재미있는 응용
관련된 고교수학 또는 대학수학
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/연분수
- http://en.wikipedia.org/wiki/continued_fraction
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem _on _diophantine _approximation
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27 s_continued _fraction
- http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFractionConstant.html
관련논문
- Solving the Pell Equation
- Lenstra, Noitces of AMS, Volume 49, Number 2
- Fractions
- L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601
관련도서
관련링크와 웹페이지
- 연분수 계산기 Continued Fraction Calculator
메타데이터
위키데이터
- ID : Q206816
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'continued'}, {'LEMMA': 'fraction'}]