"영거리 과정과 가까운 거리 과정에 대한 이해"의 두 판 사이의 차이
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교수님들의 질문과 의견을 듣고 제 안에서 정리되지 않았던, 빠져 있던 부분들을 정리해보겠습니다. | 교수님들의 질문과 의견을 듣고 제 안에서 정리되지 않았던, 빠져 있던 부분들을 정리해보겠습니다. | ||
| − | 영거리 과정(zero-range process)에서 임계 밀도가 유한할 때 이보다 더 적은 입자 밀도에서는 '유체' 상태입니다. 즉 입자들이 주어진 뜀 비율에 따라 시스템 안에서 이리저리 잘 굴러다닙니다. 그런데 임계 밀도보다 더 큰 밀도, 즉 더 많은 입자를 넣어주면 이 나머지 입자들도 여전히 이리저리 잘 굴러다닐지, 아니면 한 자리에 모여서 '응집'되고 이를 제외한 나머지 자리에서는 임계 밀도만큼의 입자가 굴러다닐지 모릅니다. 뜀 비율은 입자 개수와 상관없이 정의되는 양이므로, 여전히 입자들은 이리저리 다닙니다. 하지만 이 나머지 입자들이 한 자리에 모여 있을 확률이 여러 자리에 분산되어 있을 확률보다 더 높습니다. 그래서 응집이 나타납니다. 각 경우의 비중(weight)을 간단히 구해볼텐데요, N개의 자리에 M개의 입자가 있는 경우를 생각합시다. 나머지 입자가 '한' 자리에만 모일 가능성은, N-1개의 자리에는 임계 | + | 영거리 과정(zero-range process)에서 임계 밀도가 유한할 때 이보다 더 적은 입자 밀도에서는 '유체' 상태입니다. 즉 입자들이 주어진 뜀 비율에 따라 시스템 안에서 이리저리 잘 굴러다닙니다. 그런데 임계 밀도보다 더 큰 밀도, 즉 더 많은 입자를 넣어주면 이 나머지 입자들도 여전히 이리저리 잘 굴러다닐지, 아니면 한 자리에 모여서 '응집'되고 이를 제외한 나머지 자리에서는 임계 밀도만큼의 입자가 굴러다닐지 모릅니다. 뜀 비율은 입자 개수와 상관없이 정의되는 양이므로, 여전히 입자들은 이리저리 다닙니다. 하지만 이 나머지 입자들이 한 자리에 모여 있을 확률이 여러 자리에 분산되어 있을 확률보다 더 높습니다. 그래서 응집이 나타납니다. |
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| + | 각 경우의 비중(weight)을 간단히 구해볼텐데요, N개의 자리에 M개의 입자가 있는 경우를 생각합시다. (입자 밀도는 ρ=M/N) 나머지 입자가 '한' 자리에만 모일 가능성은, N-1개의 자리에는 각 자리 당 임계 밀도(ρ<sub>c</sub>)만큼의 입자들이 있고, 1개의 자리에 나머지 입자(즉 (ρ-ρ<sub>c</sub>)N개)가 있는 경우겠죠. 임계 밀도만큼 입자가 굴러다니는 N-1개의 자리를 배경(background)이라 부르고 N에 비례하는 입자를 모두 가진 1개의 자리를 응집(condensate)이라 부릅니다. 배경의 비중은 분배함수로 구할 수 이 | ||
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<math>P_1\approx Nc^{N-1}f(N)\sim Nc^{N-1}e^{-N\ln\beta-b\ln N},\ f(n)\sim\frac{A}{\beta^nn^b}</math> | <math>P_1\approx Nc^{N-1}f(N)\sim Nc^{N-1}e^{-N\ln\beta-b\ln N},\ f(n)\sim\frac{A}{\beta^nn^b}</math> | ||
<math>P_{2,adj}&\approx &Nc^{N-2}f^2(N/2)\sim Nc^{N-2}e^{-N\ln\beta-2b\ln N/2}\\ P_{2,sep}&\approx &N^2c^{N-2}f^2(N/2)\sim N^2c^{N-2}e^{-N\ln\beta-2b\ln N/2}</math> | <math>P_{2,adj}&\approx &Nc^{N-2}f^2(N/2)\sim Nc^{N-2}e^{-N\ln\beta-2b\ln N/2}\\ P_{2,sep}&\approx &N^2c^{N-2}f^2(N/2)\sim N^2c^{N-2}e^{-N\ln\beta-2b\ln N/2}</math> | ||
2009년 11월 27일 (금) 17:08 판
교수님들의 질문과 의견을 듣고 제 안에서 정리되지 않았던, 빠져 있던 부분들을 정리해보겠습니다.
영거리 과정(zero-range process)에서 임계 밀도가 유한할 때 이보다 더 적은 입자 밀도에서는 '유체' 상태입니다. 즉 입자들이 주어진 뜀 비율에 따라 시스템 안에서 이리저리 잘 굴러다닙니다. 그런데 임계 밀도보다 더 큰 밀도, 즉 더 많은 입자를 넣어주면 이 나머지 입자들도 여전히 이리저리 잘 굴러다닐지, 아니면 한 자리에 모여서 '응집'되고 이를 제외한 나머지 자리에서는 임계 밀도만큼의 입자가 굴러다닐지 모릅니다. 뜀 비율은 입자 개수와 상관없이 정의되는 양이므로, 여전히 입자들은 이리저리 다닙니다. 하지만 이 나머지 입자들이 한 자리에 모여 있을 확률이 여러 자리에 분산되어 있을 확률보다 더 높습니다. 그래서 응집이 나타납니다.
각 경우의 비중(weight)을 간단히 구해볼텐데요, N개의 자리에 M개의 입자가 있는 경우를 생각합시다. (입자 밀도는 ρ=M/N) 나머지 입자가 '한' 자리에만 모일 가능성은, N-1개의 자리에는 각 자리 당 임계 밀도(ρc)만큼의 입자들이 있고, 1개의 자리에 나머지 입자(즉 (ρ-ρc)N개)가 있는 경우겠죠. 임계 밀도만큼 입자가 굴러다니는 N-1개의 자리를 배경(background)이라 부르고 N에 비례하는 입자를 모두 가진 1개의 자리를 응집(condensate)이라 부릅니다. 배경의 비중은 분배함수로 구할 수 이
'영거리 과정 - 응집 전이'라는 글에서 소개한
\(P_1\approx Nc^{N-1}f(N)\sim Nc^{N-1}e^{-N\ln\beta-b\ln N},\ f(n)\sim\frac{A}{\beta^nn^b}\)
\(P_{2,adj}&\approx &Nc^{N-2}f^2(N/2)\sim Nc^{N-2}e^{-N\ln\beta-2b\ln N/2}\\ P_{2,sep}&\approx &N^2c^{N-2}f^2(N/2)\sim N^2c^{N-2}e^{-N\ln\beta-2b\ln N/2}\)