영거리 과정과 가까운 거리 과정에 대한 이해

교수님들의 질문과 의견을 듣고 제 안에서 정리되지 않았던, 빠져 있던 부분들을 정리해보겠습니다.

영거리 과정(zero-range process)에서 임계 밀도가 유한할 때 이보다 더 적은 입자 밀도에서는 '유체' 상태입니다. 즉 입자들이 주어진 뜀 비율에 따라 시스템 안에서 이리저리 잘 굴러다닙니다. 그런데 임계 밀도보다 더 큰 밀도, 즉 더 많은 입자를 넣어주면 이 나머지 입자들도 여전히 이리저리 잘 굴러다닐지, 아니면 한 자리에 모여서 '응집'되고 이를 제외한 나머지 자리에서는 임계 밀도만큼의 입자가 굴러다닐지 모릅니다. 뜀 비율은 입자 개수와 상관없이 정의되는 양이므로, 여전히 입자들은 이리저리 다닙니다. 하지만 이 나머지 입자들이 한 자리에 모여 있을 확률이 여러 자리에 분산되어 있을 확률보다 더 높습니다. 그래서 응집이 나타납니다.

각 경우의 비중(weight)을 간단히 구해볼텐데요, N개의 자리에 M개의 입자가 있는 경우를 생각합시다. (입자 밀도는 ρ=M/N) 나머지 입자가 '한' 자리에만 모일 가능성은, N-1개의 자리에는 각 자리 당 임계 밀도(ρ_c)만큼의 입자들이 있고, 1개의 자리에 나머지 입자(즉 (ρ-ρ_c)N개, 편의상 cN이라 씁시다)가 있는 경우겠죠. 임계 밀도만큼 입자가 굴러다니는 N-1개의 자리를 배경(background)이라 부르고 N에 비례하는 입자를 모두 가진 1개의 자리를 응집(condensate)이라 부릅니다. 배경의 비중은 분배함수로 구할 수 있고, 응집의 비중은 이전에 '영거리 과정 - 응집 전이'라는 글에서 소개한 f(n)을 이용하겠습니다. 1개 자리에 나머지 입자가 모두 모여 있는 경우의 비중은 다음과 같습니다.

\(P_1\approx N\lambda_{\rm max}^{N-1}f(cN)\sim N^{1-b},\ f(n)\sim\frac{A}{\beta^nn^b}\)

우변 맨 앞의 N은 응집된 자리를 N개 중 하나 고르는 경우의 수입니다. N의 차수만 생각해주면 1-b가 나옵니다. 다음으로 만일 응집이 한 자리가 아니라 두 자리에 나뉘어져 나타난다면 어떨지 보겠습니다.

\(P_2\approx N^2\lambda_{\rm max}^{N-2}\sum_nf(cN-n)f(n)\sim N^{3-2b}\)

N개 중 2개의 자리를 고르는 경우의 수는 N²에 비례합니다. 중간의 합은 응집이 나타나는 두 자리가 cN개의 입자를 여러 방식으로 나누어가질 수 있으므로 그에 대한 합입니다. 이런 방식이 N에 비례하는 가지수로 존재하므로 위와 같은 결과가 얻어집니다.

b가 2보다 크다면(이럴 때에만 응집이 나타난다고 이전 글들에서 얘기했습니다), N이 매우매우 크면 P₁이 P₂보다 무지무지 더 커집니다. 즉 가끔 응집이 두 개의 자리로 나뉘어 보일 수도 있지만 거의 대부분 하나의 자리에만 나타나는 걸로 보입니다.

지금까지 응집이 나타난다고 가정했는데요, 이 가정이 언제나 성립하지는 않겠죠. 앞서 말했던 것처럼 입자들이 임계 밀도보다 많아도 유체 상태일 수도 있으니까요. 그런데 위 논의를 좀더 확장하면 이 문제도 해결됩니다. 이를테면 응집이 n개의 자리에 나뉘어진다고 합시다. 위 논의에 따르면 n이 작을수록 그런 경우의 확률이 커집니다. n=1이면 위에서 말한 한 자리에 응집되는 거고, n=N이면 모든 자리에 골고루 '응집'되는, 즉 응집이 일어나지 않는 경우죠. 앞의 결론에 의하면 n=N일 가능성은 극히 희박하고 n=1일 가능성은 매우매우 높습니다. 즉 확률적으로 N-1개의 자리에 임계 밀도만큼의 입자가 분포하되, 단 1개의 자리에 나머지 N에 비례하는 개수의 입자가 모두 모여 있는 경우가 선호됩니다. 그냥 적당한 선호가 아니라 N이 매우 커지면 거의 1의 확률로 선호되는거죠.