영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer)

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2021년 2월 17일 (수) 02:23 판
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개요

  • 대칭군 \(S_n\)이 주어졌을 때, \(n\)의 분할에 대한 영 태블로 \(\lambda\)에 의해 정의되는 \(\mathbb{C}S_n\)의 원소 \(c_{\lambda}\)를 영 대칭화 연산자 (Young symmetrizer)라 부른다
  • 대칭군의 표현론에서 중요한 역할
  • 복소수체 위에서 대칭군의 기약표현 \(V_{\lambda}\)에 대하여 \(V_{\lambda}\cong c_{\lambda}\cdot \mathbb{C}S_n\)이 성립
  • \(\mathbb{C}S_n\)에서 다음의 등식이 성립한다

\[ c_{\lambda}^2=\frac{n!}{\dim V_{\lambda}}c_{\lambda} \]


정의

  • 다음과 같이 \(S_n\)의 두 부분군을 정의

\[P_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each row of } \lambda \}\] \[Q_\lambda=\{ g\in S_n : g \text{ preserves each column of } \lambda \}.\]

  • \(\mathbb{C}S_n\)의 두 원소를 다음과 같이 정의

\[a_\lambda=\sum_{g\in P_\lambda} e_g\] \[b_\lambda=\sum_{g\in Q_\lambda} \operatorname{sgn}(g) e_g\] 여기서 \(\operatorname{sgn}(g)\)는 치환 \(g\in S_n\)의 부호

  • 영 대칭화 연산자 \(c_\lambda\) 는 다음과 같이 정의된다

\[c_\lambda := a_\lambda b_\lambda = \sum_{g\in P_\lambda,h\in Q_\lambda} \operatorname{sgn}(h) e_{gh}\]


  • 아래에서는 \(n\)이 작은 경우의 표준 영 태블로에 대한 영 대칭화 연산자를 나열

\(n=1\)

\[ \left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ \end{array} & e_{(1)} \\ \end{array} \right) \]

\(n=2\)

\[ \left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} & e_{(1)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} & e_{(1)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \end{array} \right) \]

\(n=3\)

\[ \left( \begin{array}{c|c} \lambda & c_{\lambda}\\ \hline \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} & e_{(1)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & {} \\ \end{array} & e_{(1)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & {} \\ \end{array} & e_{(1)}+e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \hline \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} & e_{(1)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \end{array} \right)}-e_{\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right)}+e_{\left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right)} \\ \end{array} \right) \]


관련된 항목들


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  • [{'LOWER': 'young'}, {'LEMMA': 'symmetrizer'}]