오일러상수, 감마

수학노트
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개요

\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n=\gamma\]

  • \(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\)
  • 적분표현

\[\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log t\,dt\]
(증명)
아래의 \(\Gamma'(1)=-\gamma\) 참조. ■

 

 

오일러 상수가 등장하는 곳

\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\]

\[\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]\[\psi(1) = -\gamma\,\!\]\[\Gamma'(1)=-\gamma\]

\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\]

 

오일러-맥클로린 공식을 이용하여 값 구하기

오일러-맥클로린 공식은 다음과 같이 주어진다

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

 

\(f(x)=\frac{1}{x}\) 에 대하여 적용해보자.

\(\int f(x)\,dx=\ln x\), \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}\)

\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)\)

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-1)-\frac{1}{12}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{120}(\frac{1}{n^4}-1)+\frac{1}{252}(\frac{1}{n^6}-1)-\frac{1}{240}(\frac{1}{n^8}-1) \cdots\)

여기서 오일러라면(?) 다음식이 참이라고 가정 (사실은 발산하는 급수)

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{120}-\frac{1}{252}+\frac{1}{240}+\cdots=\gamma\)

그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하면,

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n +\frac{1}{2n}+\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\frac{1}{252^6}+\frac{1}{240n^8}\)

\(0.5772156649008\cdots=0.5263831609742\cdots+0.05083250392659\cdots\)

참고로 \(\gamma=0.5772156649015\cdots\)

 

 

 

메모

 \(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) 은 발산하지만 이것과  \(\ln n\) 과의 차는 수렴.


관련된 항목들

 

 

 

사전 참고자료

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스