"오일러 베타적분(베타함수)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 8개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
| − | * 두 변수 x,y 에 대하여 다음과 같이 적분으로 정의되는 함수:<math>B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math | + | * 두 변수 x,y 에 대하여 다음과 같이 적분으로 정의되는 함수:<math>B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math> |
| − | * [[셀베르그 적분(Selberg integral) | + | * [[셀베르그 적분(Selberg integral)]]으로 일반화된다 |
| 24번째 줄: | 24번째 줄: | ||
| − | * [[삼각함수]] | + | * [[삼각함수]] |
| − | * [[월리스 곱 (Wallis product formula)|월리스 곱]] | + | * [[월리스 곱 (Wallis product formula)|월리스 곱]] |
| 35번째 줄: | 35번째 줄: | ||
==베타적분과 감마함수== | ==베타적분과 감마함수== | ||
| − | * [[감마함수]]를 이용하여, 다음과 같이 표현할 수 있다:<math>B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math | + | * [[감마함수]]를 이용하여, 다음과 같이 표현할 수 있다:<math>B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> |
(증명) | (증명) | ||
| 63번째 줄: | 63번째 줄: | ||
==성질== | ==성질== | ||
| − | * <math>x+y+z=1</math> 이면, <math>\frac{\pi B(y,z)}{\sin \pi x}=\Gamma(x)\Gamma(y)\Gamma(z)</math> | + | * <math>x+y+z=1</math> 이면, <math>\frac{\pi B(y,z)}{\sin \pi x}=\Gamma(x)\Gamma(y)\Gamma(z)</math> ;(증명) |
| + | :<math>\Gamma(1-x)\Gamma(x) = {\pi \over \sin{\pi x}} \,\!</math> | ||
| 90번째 줄: | 91번째 줄: | ||
==타원적분과의 관계== | ==타원적분과의 관계== | ||
| − | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]:<math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math | + | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|lemniscate 곡선의 길이와 타원적분]]:<math>4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots</math> |
| − | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math> | + | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]:<math>6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots</math> |
| + | ;(증명):<math>\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})</math> ■ | ||
| 100번째 줄: | 102번째 줄: | ||
==베타적분과 초월수== | ==베타적분과 초월수== | ||
| − | + | ;정리 | |
| − | + | <math>a,b,a+b \in \mathbb{Q}\backslash\mathbb{Z}</math> 라 하자. <math>B(a,b)</math> 는 초월수이다. 즉 | |
| − | + | :<math>B(a,b) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}= \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt</math> | |
| − | <math>a,b,a+b \in \mathbb{Q | ||
| − | |||
| − | <math>B(a,b) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}= \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt</math> | ||
| − | |||
는 초월수이다. | 는 초월수이다. | ||
| − | + | * [[무리수와 초월수]] | |
| − | * [[무리수와 초월수]] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
==역사== | ==역사== | ||
| 125번째 줄: | 118번째 줄: | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | * [[셀베르그 적분(Selberg integral) | + | * [[셀베르그 적분(Selberg integral)]] |
| − | * [[렘니스케이트(lemniscate) | + | * [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]] |
| − | * [[감마함수]] | + | * [[감마함수]] |
| − | * [[가우시안 적분]] | + | * [[가우시안 적분]] |
| − | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] | + | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]] |
| − | |||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산리소스== | |
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWGp6UG9XRldfdnc/edit | ||
==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
| − | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] | + | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] |
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr= | ||
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] | ||
| 152번째 줄: | 145번째 줄: | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta+integral | * http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta+integral | ||
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta%281/2,1/4%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)] | * [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta%281/2,1/4%29 http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)] | ||
| − | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | + | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] |
** http://dlmf.nist.gov/5/12/ | ** http://dlmf.nist.gov/5/12/ | ||
| 159번째 줄: | 152번째 줄: | ||
| − | == | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== |
| + | * Neretin, Yury A. ‘Matrix Beta-Integrals: An Overview’. arXiv:1411.2110 [math], 8 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2110. | ||
| + | * S. Ole Warnaar, [http://www.maths.uq.edu.au/%7Euqowarna/talks/Wien.pdf Beta Integrals] | ||
| + | * Askey, Richard. “Beta Integrals and the Associated Orthogonal Polynomials.” In Number Theory, Madras 1987, edited by Krishnaswami Alladi, 84–121. Lecture Notes in Mathematics 1395. Springer Berlin Heidelberg, 1989. http://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0086401. | ||
| + | * Askey, Richard. ‘Ramanujan’s Extensions of the Gamma and Beta Functions’. The American Mathematical Monthly 87, no. 5 (1 May 1980): 346–59. doi:10.2307/2321202. | ||
| − | + | [[분류:적분]] | |
| + | [[분류:특수함수]] | ||
| − | * [ | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q468881 Q468881] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'beta'}, {'LEMMA': 'function'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:53 기준 최신판
개요
- 두 변수 x,y 에 대하여 다음과 같이 적분으로 정의되는 함수\[B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\]
- 셀베르그 적분(Selberg integral)으로 일반화된다
삼각함수의 적분과의 관계
\(B(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+\frac{1}{2})}{2\Gamma(n+1)}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\)
(증명)
\(B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\) 에서\(t=\sin^{2} \theta\) 로 치환 ■
베타적분과 감마함수
- 감마함수를 이용하여, 다음과 같이 표현할 수 있다\[B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]
(증명)
가우시안 적분의 아이디어와 비슷하다.
\(\Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv\)
\(u = a^2\)와 \(v = b^2\) 로 치환하면,
\(\Gamma(x)\Gamma(y) = 4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\,da \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db\)
\(= 4\int_{0}^\infty\ \int_{0}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} a^{2x-1} b^{2y-1} \,da \,db\)
\(=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^\infty\ e^{-r^2} (r\cos\theta)^{2x-1} (r\sin\theta)^{2y-1} r \, dr \,d\theta\)
\(= 4\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}\, d\theta\)
\(= 2\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) \int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta\)
\(= \Gamma(x+y)B(x,y)\) ■
성질
- \(x+y+z=1\) 이면, \(\frac{\pi B(y,z)}{\sin \pi x}=\Gamma(x)\Gamma(y)\Gamma(z)\) ;(증명)
\[\Gamma(1-x)\Gamma(x) = {\pi \over \sin{\pi x}} \,\!\]
무리함수의 적분과 감마함수
\(n>0\)에 대하여,
\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})\)
이 성립한다
(증명)
\(t=x^n\) 으로 치환하면, \(dt=nx^{n-1}\,dx=nt^{\frac{n-1}{n}}\,dx\).
\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}\int_0^1\frac{t^{-\frac{n-1}{n}}}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{1}{n}\int_0^1{t^{\frac{1}{n}-1}}(1-t)^{\frac{1}{2}-1}dt=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})\). ■
타원적분과의 관계
- lemniscate 곡선의 길이와 타원적분\[4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=\frac{\Gamma(1/4)^2}{\sqrt{2\pi}}=5.24\cdots\]
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)\[6\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{\sqrt{\pi}}=8.413\cdots\]
- (증명)\[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\] ■
베타적분과 초월수
- 정리
\(a,b,a+b \in \mathbb{Q}\backslash\mathbb{Z}\) 라 하자. \(B(a,b)\) 는 초월수이다. 즉 \[B(a,b) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}= \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\] 는 초월수이다.
역사
관련된 항목들
- 셀베르그 적분(Selberg integral)
- 렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분
- 감마함수
- 가우시안 적분
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
매스매티카 파일 및 계산리소스
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/베타_함수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_integral
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta+integral
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=Beta(1/2,1/4)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
리뷰, 에세이, 강의노트
- Neretin, Yury A. ‘Matrix Beta-Integrals: An Overview’. arXiv:1411.2110 [math], 8 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2110.
- S. Ole Warnaar, Beta Integrals
- Askey, Richard. “Beta Integrals and the Associated Orthogonal Polynomials.” In Number Theory, Madras 1987, edited by Krishnaswami Alladi, 84–121. Lecture Notes in Mathematics 1395. Springer Berlin Heidelberg, 1989. http://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0086401.
- Askey, Richard. ‘Ramanujan’s Extensions of the Gamma and Beta Functions’. The American Mathematical Monthly 87, no. 5 (1 May 1980): 346–59. doi:10.2307/2321202.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q468881
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'beta'}, {'LEMMA': 'function'}]