오일러 베타적분(베타함수)

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
The printable version is no longer supported and may have rendering errors. Please update your browser bookmarks and please use the default browser print function instead.

개요



삼각함수의 적분과의 관계

\(B(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{p}\theta{d\theta}= \frac{1}{2}B(\frac{p+1}{2},\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{2\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+\frac{1}{2})}{2\Gamma(n+1)}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\)

(증명)

\(B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\) 에서\(t=\sin^{2} \theta\) 로 치환 ■





베타적분과 감마함수

  • 감마함수를 이용하여, 다음과 같이 표현할 수 있다\[B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\]

(증명)

가우시안 적분의 아이디어와 비슷하다.

\(\Gamma(x)\Gamma(y) = \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv\)

\(u = a^2\)와 \(v = b^2\) 로 치환하면,

\(\Gamma(x)\Gamma(y) = 4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\,da \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db\)

\(= 4\int_{0}^\infty\ \int_{0}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} a^{2x-1} b^{2y-1} \,da \,db\)

\(=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^\infty\ e^{-r^2} (r\cos\theta)^{2x-1} (r\sin\theta)^{2y-1} r \, dr \,d\theta\)

\(= 4\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}\, d\theta\)

\(= 2\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) \int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta\)

\(= \Gamma(x+y)B(x,y)\) ■



성질

  • \(x+y+z=1\) 이면, \(\frac{\pi B(y,z)}{\sin \pi x}=\Gamma(x)\Gamma(y)\Gamma(z)\) ;(증명)

\[\Gamma(1-x)\Gamma(x) = {\pi \over \sin{\pi x}} \,\!\]



무리함수의 적분과 감마함수

\(n>0\)에 대하여,

\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})\)

이 성립한다


(증명)

\(t=x^n\) 으로 치환하면, \(dt=nx^{n-1}\,dx=nt^{\frac{n-1}{n}}\,dx\).

\(\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^n}}=\frac{1}{n}\int_0^1\frac{t^{-\frac{n-1}{n}}}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{1}{n}\int_0^1{t^{\frac{1}{n}-1}}(1-t)^{\frac{1}{2}-1}dt=\frac{1}{n}B(\frac{1}{2},\frac{1}{n})\). ■



타원적분과의 관계

(증명)\[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}=\frac{1}{3}B(\frac{1}{2},\frac{1}{3})=\frac{1}{6}B(\frac{1}{3},\frac{1}{6})\] ■




베타적분과 초월수

정리

\(a,b,a+b \in \mathbb{Q}\backslash\mathbb{Z}\) 라 하자. \(B(a,b)\) 는 초월수이다. 즉 \[B(a,b) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}= \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt\] 는 초월수이다.

역사



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산리소스

수학용어번역



사전 형태의 자료



리뷰, 에세이, 강의노트

  • Neretin, Yury A. ‘Matrix Beta-Integrals: An Overview’. arXiv:1411.2110 [math], 8 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.2110.
  • S. Ole Warnaar, Beta Integrals
  • Askey, Richard. “Beta Integrals and the Associated Orthogonal Polynomials.” In Number Theory, Madras 1987, edited by Krishnaswami Alladi, 84–121. Lecture Notes in Mathematics 1395. Springer Berlin Heidelberg, 1989. http://link.springer.com/chapter/10.1007/BFb0086401.
  • Askey, Richard. ‘Ramanujan’s Extensions of the Gamma and Beta Functions’. The American Mathematical Monthly 87, no. 5 (1 May 1980): 346–59. doi:10.2307/2321202.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'beta'}, {'LEMMA': 'function'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=오일러_베타적분(베타함수)&oldid=52406"