완전미분방정식

개요

\(M(x, y) + N(x, y)y' = 0\) 꼴의 미분방정식
\(M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0\) 형태로 쓸 수 있으며, 다음 조건을 만족시키는 경우 완전미분방정식이라 부름\[\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)\]
푸앵카레 보조정리
호몰로지 대수의 흔적

\(\operatorname{grad}(\phi) = \nabla \phi=(M,N)\) 을 만족하는 함수가 존재하는 경우\[\frac{d}{dx}\phi(x,y) = \frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{dy}{dx}=M+Ny=0\]
국소적인 해가 존재할 필요충분조건\[\frac{\partial M}{\partial y}(x, y) = \frac{\partial N}{\partial x}(x, y)\]
이는 미분연산자 가 만족시키는 조건 \(\nabla \times (\nabla f)=0\) 으로 설명가능

\[\frac{dy}{dt}+a(t)y=b(t)\]