완전수

개요

• $\sigma(n)=2n$을 만족하는 자연수 $n$을 완전수라 한다. 여기서 $\sigma(n)$은 $n$의 약수의 합
  • 자연수의 약수의 합 항목 참조
• $M = 2^p - 1$ 가 소수 (메르센 소수)이면 $M(M+1)/2$는 완전수이다
• 모든 짝수인 완전수는 위의 형태로 주어진다
• 홀수인 완전수가 존재여부는 미해결 문제이다

예

• $M$은 메르센 소수, 이고 $M(M+1)/2$는 대응되는 완전수

$$ \begin{array}{ccc} p & 2^p-1 & (2^p\text{-1)}2^{p-1} \\ \hline 2 & 3 & 6 \\ 3 & 7 & 28 \\ 5 & 31 & 496 \\ 7 & 127 & 8128 \\ 13 & 8191 & 33550336 \\ 17 & 131071 & 8589869056 \\ 19 & 524287 & 137438691328 \\ 31 & 2147483647 & 2305843008139952128 \\ 61 & 2305843009213693951 & 2658455991569831744654692615953842176 \\ \end{array} $$

메모

• http://mathoverflow.net/questions/99227/sum-of-the-reciprocal-of-perfect-numbers
• http://www.johndcook.com/blog/2010/11/06/even-perfect-numbers/
• http://www.huffingtonpost.com/mario-livio/perfect-numbers_b_2998917.html

관련된 항목들

• 자연수의 약수의 합
• 메르센 소수

계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxaGhQcmttMFQ0ZTg/edit
• http://oeis.org/A000396
• http://oeis.org/A000043