왓슨 변환(Watson transform)

수학노트
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개요

  • 유수정리(residue theorem) 의 응용
  • 정수점에서의 함수의 합을 복소함수의 적분을 통하여 표현
  • 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다

\[\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\]

  • g 가 meromorphic 함수인 경우, 우변의 합에 적당한 유수를 더하여 사용할 수 있다
  • g 가 meromorphic 함수이며, \(z=a_1,\cdots, a_m\) 에서 pole 을 가지는 경우 (\(a_1,\cdots, a_m\) 는 모두 정수가 아님을 가정)

\[\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^{n=N} g(n)=-\sum_{k=1}^{m} \operatorname{Res}_{z=a_k}\left(g(z) \pi \cot (\pi z)\right)\]


 

복소함수 코탄젠트의 유용한 성질

  • 코탄젠트 항목의 '복소함수 코탄젠트의 유용한 성질' 부분 참조

 

 

 

응용 1

정수가 아닌 복소수 a 를 고정하자. 다음 등식이 성립한다. \[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}=\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}\]  

(증명)

\(g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}\)로 두고, 원점을 중심으로 반지름이\(R\) 인 원\(C_{R}\)에 대하여 왓슨변환을 적용하자. \[\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{n^4-a^4}+\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}\]

여기서 우변에 더해진 항은\(\{-a,-i a,i a,a\}\) 에서 함수 \(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}\)유수의 합이다.

반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.

이로부터 다음을 얻는다 \[-\frac{1}{a^4}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}+\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}=0\] ■

\[\lim_{a\to 0}\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}=\frac{\pi ^4}{90}\] 여기서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\) 를 얻는다.  

 

 

응용2

다음이 성립한다. \[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}\]

(증명) 함수 g를 다음과 같이 정의하자 \[g(z)=\frac{1}{z^2+z+1}\]

다음 함수의 pole과 residue 를 생각하자 \[\pi \cot (\pi z)g(z)=\frac{\pi \cot (\pi z)}{z^2+z+1}\]

\(z=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\) 에서의 residue 는  \[\frac{\pi \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}\] 가 된다.

왓슨변환을 적용하면, \[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{2\pi \tanh \left(\frac{\sqrt{3} \pi }{2}\right)}{\sqrt{3}}\] 을 얻는다. ■

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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