"외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)"의 두 판 사이의 차이

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==외대수의 쌍대 공간==
 
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* <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 동형사상 <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다
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:<math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math>
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* 따라서 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math>
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* 외대수의 쌍대 공간은 [[교대 다중선형형식]]을 통해서도 이해할 수 있다
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:<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> 여기서 <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
  
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* <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math>
 
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* <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 isomorphism <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다<br><math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math><br>
 
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==교대 겹선형 형식 alternating multilinear form과 외대수의 쌍대 공간==
 
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* 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math>
 
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*  교대 겹선형 k-형식(k-alternating form)<br><math>f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1),\cdots,v_{\sigma(k)}})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.</math><br>
 
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* <math>A^k(V)</math> : the set of k-alternating forms on V
 
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* <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math>
 
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*  wedge product<br><math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)</math><br> 여기서 <math>\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).</math><br>
 
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* [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의<br><math>\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math><br>
 
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
  
 
 
 
 
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==메모==
 
==메모==
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* http://mathoverflow.net/questions/54343/is-there-a-preferable-convention-for-defining-the-wedge-product
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* http://mathoverflow.net/questions/1684/why-is-the-exterior-algebra-so-ubiquitous
 
* [http://www.auburn.edu/%7Etamtiny/math7970-11f.html http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html]
 
* [http://www.auburn.edu/%7Etamtiny/math7970-11f.html http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html]
 
* http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
 
* http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
  
 
 
 
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[미분형식]]
 
 
 
 
  
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==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
  
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*  단어사전<br>
 
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** http://translate.google.com/#en|ko|
 
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** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=exterior
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=exterior
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=multilinear
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=multilinear
−
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
−
* [http://cgi.postech.ac.kr/cgi-bin/cgiwrap/sand/terms/terms.cgi 한국물리학회 물리학 용어집 검색기]
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcTk3QjV5U09pbDA/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcTk3QjV5U09pbDA/edit
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
−
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
−
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
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==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
  
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8B%A4%EC%A4%91%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99 http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학]
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
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* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]
 
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* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Fløystad, Gunnar. ‘The Exterior Algebra and Central Notions in Mathematics’. Notices of the American Mathematical Society 62, no. 04 (1 April 2015): 364–71. doi:10.1090/noti1234. http://www.ams.org/notices/201504/rnoti-p364.pdf
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==관련논문==
 
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://www.ams.org/mathscinet
 
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* http://dx.doi.org/
 
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[[분류:선형대수학]]
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[[분류:교과목]]

2015년 4월 27일 (월) 19:01 판

개요

  • \(\Lambda(V)\) : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
  • 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
  • 클리포드 대수 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다

 

 

텐서 공간

  • V : 유한차원 벡터공간
  • \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
  • \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
  • \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
  • \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다

 

 

텐서 대수 tensor algebra

  • \(T(V)\)

 

 

외대수 exterior algebra

  • 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
  • \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
  • \(\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)\) 에 대하여 \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\) 가 성립한다

 

 

외대수의 쌍대 공간

  • \(v_1,\cdots, v_k \in V\), \(f_1,\cdots, f_k \in V^{*}\) 에 대하여, 다음과 같은 동형사상 \(\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}\)을 정의할 수 있다

\[\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\]

  • 따라서 \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})\)
  • 외대수의 쌍대 공간은 교대 다중선형형식을 통해서도 이해할 수 있다

\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\] 여기서 \(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합


 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역


 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

 

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