"외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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* <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 동형사상 <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다
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:<math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math>
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* 따라서 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math>
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* 외대수의 쌍대 공간은 [[교대 다중선형형식]]을 통해서도 이해할 수 있다
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:<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> 여기서 <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
  
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* <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math>
 
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* <math>v_1,\cdots, v_k \in V</math>, <math>f_1,\cdots, f_k \in V^{*}</math> 에 대하여, 다음과 같은 isomorphism <math>\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}</math>을 정의할 수 있다:<math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math><br>
 
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==교대 겹선형 형식 alternating multilinear form과 외대수의 쌍대 공간==
 
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* 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math>
 
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*  교대 겹선형 k-형식(k-alternating form):<math>f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.</math><br>
 
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* <math>A^k(V)</math> : the set of k-alternating forms on V
 
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* <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math>
 
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*  wedge product:<math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)</math><br> 여기서 <math>\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).</math><br>
 
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* [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의:<math>\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),</math><br>
 
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==메모==
 
==메모==
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* http://mathoverflow.net/questions/54343/is-there-a-preferable-convention-for-defining-the-wedge-product
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* http://mathoverflow.net/questions/1684/why-is-the-exterior-algebra-so-ubiquitous
 
* [http://www.auburn.edu/%7Etamtiny/math7970-11f.html http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html]
 
* [http://www.auburn.edu/%7Etamtiny/math7970-11f.html http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html]
 
* http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
 
* http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
  
 
 
 
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[미분형식]]
 
 
 
 
  
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==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
  
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%8B%A4%EC%A4%91%EC%84%A0%ED%98%95%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99 http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학]
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Fløystad, Gunnar. ‘The Exterior Algebra and Central Notions in Mathematics’. Notices of the American Mathematical Society 62, no. 04 (1 April 2015): 364–71. doi:10.1090/noti1234. http://www.ams.org/notices/201504/rnoti-p364.pdf
  
 
 
 
 
 
[[분류:선형대수학]]
 
[[분류:선형대수학]]
 
[[분류:교과목]]
 
[[분류:교과목]]

2015년 4월 27일 (월) 19:01 판

개요

  • \(\Lambda(V)\) : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
  • 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
  • 클리포드 대수 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다

 

 

텐서 공간

  • V : 유한차원 벡터공간
  • \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
  • \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
  • \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
  • \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다

 

 

텐서 대수 tensor algebra

  • \(T(V)\)

 

 

외대수 exterior algebra

  • 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
  • \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
  • \(\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)\) 에 대하여 \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\) 가 성립한다

 

 

외대수의 쌍대 공간

  • \(v_1,\cdots, v_k \in V\), \(f_1,\cdots, f_k \in V^{*}\) 에 대하여, 다음과 같은 동형사상 \(\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}\)을 정의할 수 있다

\[\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\]

  • 따라서 \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})\)
  • 외대수의 쌍대 공간은 교대 다중선형형식을 통해서도 이해할 수 있다

\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\] 여기서 \(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합


 

역사

 

 

 

메모

 

 

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