"외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 5개는 보이지 않습니다) | |||
| 43번째 줄: | 43번째 줄: | ||
:<math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math> | :<math>\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)</math> | ||
* 따라서 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math> | * 따라서 <math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})</math> | ||
| − | * 외대수의 쌍대 공간은 [[교대 | + | * 외대수의 쌍대 공간은 [[교대 다중선형형식]]을 통해서도 이해할 수 있다 |
| − | :<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> 여기서 <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 | + | :<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> 여기서 <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합 |
| 61번째 줄: | 61번째 줄: | ||
==메모== | ==메모== | ||
| − | + | * http://mathoverflow.net/questions/54343/is-there-a-preferable-convention-for-defining-the-wedge-product | |
| + | * http://mathoverflow.net/questions/1684/why-is-the-exterior-algebra-so-ubiquitous | ||
* [http://www.auburn.edu/%7Etamtiny/math7970-11f.html http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html] | * [http://www.auburn.edu/%7Etamtiny/math7970-11f.html http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html] | ||
* http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1 | * http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1 | ||
| − | + | ||
| 70번째 줄: | 71번째 줄: | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | + | * [[미분형식]] | |
| 92번째 줄: | 93번째 줄: | ||
==사전 형태의 자료== | ==사전 형태의 자료== | ||
| − | * | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학 |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra | * http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
| + | * Fløystad, Gunnar. ‘The Exterior Algebra and Central Notions in Mathematics’. Notices of the American Mathematical Society 62, no. 04 (1 April 2015): 364–71. doi:10.1090/noti1234. http://www.ams.org/notices/201504/rnoti-p364.pdf | ||
[[분류:선형대수학]] | [[분류:선형대수학]] | ||
[[분류:교과목]] | [[분류:교과목]] | ||
2015년 4월 27일 (월) 19:01 판
개요
- \(\Lambda(V)\) : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
- 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
- 클리포드 대수 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다
텐서 공간
- V : 유한차원 벡터공간
- \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
- \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
- \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
- \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다
텐서 대수 tensor algebra
- \(T(V)\)
외대수 exterior algebra
- 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
- \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
- \(\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)\) 에 대하여 \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\) 가 성립한다
외대수의 쌍대 공간
- \(v_1,\cdots, v_k \in V\), \(f_1,\cdots, f_k \in V^{*}\) 에 대하여, 다음과 같은 동형사상 \(\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}\)을 정의할 수 있다
\[\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\]
- 따라서 \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})\)
- 외대수의 쌍대 공간은 교대 다중선형형식을 통해서도 이해할 수 있다
\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\] 여기서 \(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
역사
메모
- http://mathoverflow.net/questions/54343/is-there-a-preferable-convention-for-defining-the-wedge-product
- http://mathoverflow.net/questions/1684/why-is-the-exterior-algebra-so-ubiquitous
- http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html
- http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
관련된 항목들
수학용어번역
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Fløystad, Gunnar. ‘The Exterior Algebra and Central Notions in Mathematics’. Notices of the American Mathematical Society 62, no. 04 (1 April 2015): 364–71. doi:10.1090/noti1234. http://www.ams.org/notices/201504/rnoti-p364.pdf