원분다항식(cyclotomic polynomial)

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개요


정의

  • \(\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\)
    • 여기서 \(\omega\)는 primitive n-th root of unity (단위근)
  • 차수는 오일러의 totient 함수 를 사용하여 \(\varphi(n)\) 로 표현됨
  • \(x^n-1= \prod_{d|n}\Phi_d(x)\)


 

원분다항식의 상호법칙

  • 소수 \(p\) 에 대해 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떻게 분해되는가의 문제

 

정리

\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 $r$이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 $r$인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\)의 분해는, \(p\pmod n\)에 의해 결정된다.

 

따름정리

\(n | p-1\)  \(\iff\)  \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다

 

 

원분다항식 목록

\(\begin{array}{l|l|l} n & \varphi (n) & \Phi _n(x) \\ \hline 1 & 1 & 1-x \\ 2 & 1 & 1+x \\ 3 & 2 & 1+x+x^2 \\ 4 & 2 & 1+x^2 \\ 5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\ 6 & 2 & 1-x+x^2 \\ 7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ 8 & 4 & 1+x^4 \\ 9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\ 10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\ 11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\ 12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\ 13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\ 14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\ 15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\ 16 & 8 & 1+x^8 \\ 17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\ 18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\ 19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\ 20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}\)

  • $n=105$일 때, 0또는 $\pm 1$외의 계수가 등장한다

$$ \begin{align*} \Phi_{105}(x)&= 1 + x + x^{2} - x^{5} - x^{6} - 2 x^{7} \\ & \quad -x^{8} - x^{9} + x^{12} + x^{13} + x^{14} + x^{15} \\ & \quad +x^{16} + x^{17} - x^{20} - x^{22} - x^{24} - x^{26} \\ & \quad -x^{28} + x^{31} + x^{32} + x^{33} + x^{34} + x^{35} \\ & \quad +x^{36} - x^{39} - x^{40} - 2 x^{41} - x^{42} - x^{43} \end{align*} $$

역사

 

 

 

관련된 항목들

 

 

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사전형태의 참고자료


 

관련논문

  • Bartlomiej Bzdega, Products of cyclotomic polynomials on unit circle, arXiv:1606.07622 [math.NT], June 24 2016, http://arxiv.org/abs/1606.07622
  • Pomerance, Carl, Lola Thompson, and Andreas Weingartner. “On Integers $n$ for Which $X^n-1$ Has a Divisor of Every Degree.” arXiv:1511.03357 [math], November 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03357.
  • Somu, Sai Teja. “On the Distribution of Numbers Related to the Divisors of $x^n-1$.” arXiv:1511.03230 [math], November 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03230.
  • Somu, Sai Teja. “On the Coefficients of Divisors of X^n-1.” arXiv:1511.03226 [math], November 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03226.
  • Damianou, Pantelis A. ‘Monic Polynomials in $Z[x]$ with Roots in the Unit Disc’. arXiv:1507.02419 [math], 9 July 2015. http://arxiv.org/abs/1507.02419.
  • Martínez, F. E. Brochero, C. R. Giraldo Vergara, and L. Batista de Oliveira. “Explicit Factorization of $x^n-1\in \mathbb F_q[x]$.” arXiv:1404.6281 [cs, Math], April 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1404.6281.