원분체 (cyclotomic field)

수학노트
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개요

  • 크로네커-베버 정리
  • cyclotomic units
  • class field theory
  • Iwasawa theory


기호

  • \(\zeta_n\)는 원시 n-단위근
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)


갈루아군

정리

\(G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)

증명

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자.

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\text{Gal}(K/\mathbb Q)\)의 원소로, \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시킨다.

\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■



원분체의 데데킨트 제타함수

\[\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\]


유수(class number)


메모


역사



관련된 항목들


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사전 형태의 자료



관련도서

  • Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982