"원분체 (cyclotomic field)"의 두 판 사이의 차이

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* <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>에 대한 [[데데킨트 제타함수]]<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br>
 
* <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math>에 대한 [[데데킨트 제타함수]]<br><math>\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}</math><br>
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* 제타함숭
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* 제타함수의 분해<br><math>\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)</math> 로부터 [[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]] 를 얻을 수 있다<br>
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* 자세한 내용은 [[원분체의 데데킨트 제타함수]] 항목 참조
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* <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 쌍대군  <math>\hat{G}</math>을 정의
 
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* <math>\hat{G}</math>의 원소는 모두 적당한 conductor <math>f|n</math> 을 갖는 원시(primitive) 디리클레 character 로부터 얻어진다.
 
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* 이 디리클레 character 의 집합을 <math>\tilde{G}</math>라 하자
 
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(정리)
 
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<math>\zeta_K(s)=\prod_{\chi\in \tilde{G}}L(s,\chi)</math>
 
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(따름정리)
 
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[[등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리]]
 
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<h5>예</h5>
 
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* <math>K = \mathbb Q(\zeta_3)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})</math>의 경우 <math>d_K=-3</math><br>
 
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** <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^\times =\{1,2\}</math>
 
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** <math>\hat{G}=\{1,\chi\}</math><br><math>\chi(a)=\left(\frac{a}{3}\right)</math><br>
 
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** <math>1\in \hat{G}</math>의 conductor는 1
 
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** <math>\chi\in\hat{G}</math>의 conductor는 3
 
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**  따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음<br><math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)</math><br>
 
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* <math>K = \mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})</math>의 경우 <math>d_K=-4</math><br>
 
−
** <math>G=\text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times =\{1,3\}</math>
 
−
** <math>\hat{G}=\{1,\chi\}</math><br><math>\chi(a)=\left(\frac{-4}{a}\right)=\left(\frac{-1}{a}\right)</math><br>
 
−
** <math>1\in \hat{G}</math>의 conductor는 1
 
−
** <math>\chi\in\hat{G}</math>의 conductor는 4
 
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**  따라서 제타함수의 분해는 다음과 같음<br><math>\zeta_{K}(s)=\zeta(s)L(\chi,s)</math><br>
 
  
 
 
 
 

2012년 4월 29일 (일) 06:17 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 크로네커-베버 정리
  • cyclotomic units
  • class field theory
  • Iwasawa theory

 

 

기호
  • \(\zeta_n\)는 원시 n-단위근
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)

 

 

갈루아군

(정리)

\(G= \text{Gal}(K/\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)

 

(증명)

\(\wp \subset K\) 는 소수 p 를 나누는 unramified prime ideal이라 하자. 

소수 p에 대한 아틴 심볼은 \(\text{Gal}(K/\mathbb Q)\)의 원소로,  \(\sigma_p(\alpha)=\alpha ^p \pmod \wp\) 를 만족시킨다.

\(\sigma_p(\zeta)=\zeta ^p=\zeta^{an+b}=\zeta^b\) 이므로, 아틴심볼은 p를 n으로 나눈 나머지에 의존한다. ■

 

 

원분체의 데데킨트 제타함수

 

 

디리클레 class number 공식과의 관계

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{1}{N(\mathfrak{a})^s}=\prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

 

 

class number
  • \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\) 의 class number \(h_K\)
  • \(K^{+} :=\mathbb Q(\zeta_n)^{+}=K\cap \mathbb{R}\)
  • \(h_K=h_K^{+}h_K^{-}\)
  • \(h_K^{-}\)를 relative class number라 한다

 

 

메모

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서
  • Introduction to Cyclotomic Fields
    • Lawrence C. Washington, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982
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