원주율과 적분

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 4월 13일 (수) 03:27 판
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개요
  • 원의 넓이? (Ens, New Start, 2011-4-11) 에 대한 코멘트
  • 원주율은 대수적함수와 미적분학을 사용하여 표현할 수 있다 (periods)
  • 가정들
    • 원주율의 기하학적 정의는 잊자.
    • 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
    • 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.
      • 다항식의 미분, \(\sqrt{x}\)의 미분, 합성함수의 미분, 미적분학의 기본정리 등

 

 

 

단위원의 둘레의 길이와 적분

원주율을 적분을 통해 표현해보자.

단위원 C의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 \(x^2+y^2=1\)을 이용하자.  \(y=\sqrt{1-x^2}\)를 이용하면, C의 둘레의 길이의 절반은

\(\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 표현된다.

원주율은 \(\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 정의된다.

 

 

 

단위원의 면적과 적분

단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx\) 으로 쓸 수 있다. 이 값은 정말로 \(\pi\)가 될까? 이를 삼각함수 없이 증명할 수 있을까?

\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 를 보이면 된다.

 

(증명)

\(\int \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=x \sqrt{1-x^2}+C\)

\(\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=0\)

\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)

따라서 단위원의 면적은 \(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx=\pi\) 가 된다. ■

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모
  • 대수적 함수와 아벨적분
  • 사인/아크사인함수 덧셈정리의 적분표현
    \(\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\\)
    \(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)
    \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx \)

 

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