"원주율(파이,π)"의 두 판 사이의 차이

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<h5>바젤문제와 파이</h5>
 
<h5>바젤문제와 파이</h5>
  
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br><math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br>
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* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]<br><math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br>
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*  더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다<br><math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].<br>
  
 
 
 
 
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William Gosper used this series in<br> (a) Verify that the series is convergent.<br> (b) How many correct decimal places of <math>\pi</math> do you get if you use just the first term of the series? What if you use two terms?
 
William Gosper used this series in<br> (a) Verify that the series is convergent.<br> (b) How many correct decimal places of <math>\pi</math> do you get if you use just the first term of the series? What if you use two terms?
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[[라마누잔과 파이]]
 
[[라마누잔과 파이]]
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[[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]
 
[[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]

2010년 3월 15일 (월) 06:50 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 파이는 원의 둘레와 지름의 비율
    • 모든 원은 서로 닮음이므로, 비율은 상수가 됨.

 

[/pages/2519130/attachments/1333536 circle_diagram1.jpg]

  • 3.141592...

 

 

 

 

 

비에타의 공식
  • 1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
  • 원주율의 무한곱 표현
    \(\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\)

 

 

 

급수표현

\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)

 

 

마친의 공식

 

 

바젤문제와 파이

 

 

산술기하평균함수와 파이

 

 

라마누잔의 공식
  • 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표
    \(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
  • 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
  • 라마누잔과 파이

 

 

파이와 2파이

 

 

메모

Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula

\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)

William Gosper used this series in
(a) Verify that the series is convergent.
(b) How many correct decimal places of \(\pi\) do you get if you use just the first term of the series? What if you use two terms?

 

 

너드의 길

라마누잔과 파이

삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수

 

 

 

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관련논문

 

 

관련도서 및 추천도서
  • Pi-unleashed
    • Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, Springer

 

 

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