"원주율(파이,π)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[원주율(파이,π)]]
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* 원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
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* 모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다
  
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[[파일:2519130-circle_diagram1.jpg]]
  
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<h5>개요</h5>
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* <math>\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots</math>
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* 수학의 수많은 곳에서 등장한다
  
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*  파이는 원의 둘레와 지름의 비율<br>
 
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** 모든 원은 서로 닮음이므로, 비율은 상수가 됨.
 
  
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==표기법의 역사==
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* http://collation.folger.edu/2015/03/pi-day-represented/
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* The first time we see the Greek letter π used in connection with circles is in Oughtred’s 1647 Key of the Mathematics. Here, Oughtred used π to represent the periphery (or circumference) of a circle and ∂ to represent the diameter in the ratio.
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* It wasn’t until the beginning of the 18th century that π started to be used in its current way, thanks to to William Jones’s A New Introduction to the Mathematics
  
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[/pages/2519130/attachments/1333536 circle_diagram1.jpg]
 
  
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* 3.141592...
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==원주율의 계산==
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* http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piCompute.html
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_%CF%80
  
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===아르키메데스의 부등식===
  
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<h5>급수표현</h5>
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* <math>223/71 < \pi < 22/7</math>
  
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* 라이프니츠 급수
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<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
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===비에타의 공식===
  
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* 1593년 François Viète에 의해 발견된 [[비에타의 공식]]
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*  원주율의 무한곱 표현:<math>\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots</math><br>
  
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<h5>산술기하평균함수와 파이</h5>
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|산술기하평균함수(AGM)와 파이)]][[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|값의 계산]]
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===급수표현===
  
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* 1680년경에 발견된 [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]
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:<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
  
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<h5>라마누잔의 공식</h5>
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* 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표<br><math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math><br>
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* [[라마누잔과 파이]]
 
  
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===마친의 공식===
  
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*  1706년 발견된 [[마친(Machin)의 공식]]:<math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math><br>
  
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<h5>메모</h5>
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===산술기하평균함수와 파이===
  
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Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|산술기하평균함수(AGM)와 파이)]]
  
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; <math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math>
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William Gosper used this series in 1985 to compute the first 17 million digits of <math>\pi</math>.<br> (a) Verify that the series is convergent.<br> (b) How many correct decimal places of <math>\pi</math> do you get if you use just the first term of the series? What if you use two terms?
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===라마누잔의 공식===
  
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[[너드의 길]]
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*  라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표:<math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math><br>
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* 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
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*  비슷한 형태로 다음과 같은 공식:<math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math><br>
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* [[라마누잔과 파이]] 항목을 참조
  
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[[라마누잔과 파이]]
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==오일러와 파이==
  
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* [[오일러의 공식]]:<math>e^{i \pi} +1 = 0</math><br>
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* [[Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]:<math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math>
 +
*  더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다:<math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].<br>
  
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[[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]
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==BBP 공식==
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* [[원주율의 BBP 공식|BBP 공식]] 항목 참조
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:<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)</math>
  
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지난 글 [http://bomber0.byus.net/index.php/2009/09/14/1490 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상] 에서는 라이프니츠 급수
 
  
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<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
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==complex multiplication과 파이==
  
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의 5000개의 항을 더했을 때 나타나는 현상을 언급하였다.
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*  타원곡선의 [[complex multiplication]] 이론과 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]는 다음과 같은 공식들을 이해할 수 있게 해준다:<math>\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744</math>:<math>e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744</math>:<math>e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744</math><br>
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* [[숫자 163]], [[숫자 67]] 항목과 [[가우스의 class number one 문제]]
  
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<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>
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3.141'''3'''926535'''91'''793238'''3'''626433'''954'''7950'''011'''4198179… (위의 급수)
+
==파이가 아니라 2파이다?==
  
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3.141'''5'''926535'''89'''793238'''4'''626433'''832'''7950'''288'''4197169… (원래 파이값)
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* 수학의 많은 공식에서는 <math>\pi</math>가 아닌 <math>2\pi</math>가 자연스럽게 등장
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* [[파이가 아니라 2파이다?]]
  
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이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 [[오일러수]]라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다.
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==메모==
  
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<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
+
* http://navercast.naver.com/science/math/1094
 +
* http://navercast.naver.com/science/math/204
  
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==관련된 항목들==
  
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(여기서 참고로, 보통 사인과 코사인 함수의 맥클로린은 학부생 미적분학에서 쉽게 찾아볼 수 있지만, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트와 같은 삼각함수에 대해서는 잘 얘기를 하지 않는다.
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* [[너드의 길]]
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* [[오일러의 공식]]
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<math>B_n</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]], <math>E_n</math>은 [[오일러수]]
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
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* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
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<math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
+
* [[라마누잔과 파이]]
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* [[파이(영화)]]
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<math>\cot x  =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
+
* [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]
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<math>\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}</math>
 
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이 수학적으로 흥미로운 계수들에 대하여 말할 수 있는 기회를 놓치는 것이라 생각한다.
 
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아니 미적분학을 말하는데 [[오일러-맥클로린 공식]]을 얘기하지 않는단 말인가!!)
 
  
 
 
 
 
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처음 몇 개의 오일러수는 다음과 같다.
 
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<math>E_0=1</math>,<math>E_2 = −1</math>,<math>E_4 = 5</math>,<math>E_6 = −61</math>,<math>E_8 = 1,385</math>,<math>E_{10} = −50,521</math>,<math>E_{12} = 2,702,765</math>,<math>E_{14} = −199,360,981</math>,<math>E_{16} = 19,391,512,145</math>,<math>E_{18} = −2,404,879,675,441</math>
 
  
 
 
 
 
  
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이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다.
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==계산 리소스==
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* http://oeis.org/A000796
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi
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* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/picomputation/PiComputationBib/Links/PiComputationBib_lnk_ 2.html Bibliography for Computation of Pi]
  
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<math>\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^9}-\frac{101042}{N^{11}}+\cdots</math>
+
  
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==사전 형태의 자료==
  
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수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다.
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
  
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<math>4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)</math>
+
  
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여기서 <math>|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}</math>
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==관련논문==
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* Bailey, David H., Simon M. Plouffe, Peter B. Borwein, and Jonathan M. Borwein. “The Quest for PI.” The Mathematical Intelligencer 19, no. 1 (December 1, 1997): 50–56. doi:10.1007/BF03024340. http://crd.lbl.gov/%7Edhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf
 +
* Borwein, Jonathan M. “The Life of Π: From Archimedes to ENIAC and Beyond.” In From Alexandria, Through Baghdad, edited by Nathan Sidoli and Glen Van Brummelen, 531–61. Springer Berlin Heidelberg, 2014. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-36736-6_24.
 +
* Schepler, Herman C. “The Chronology of PI.” Mathematics Magazine 23, no. 4 (March 1, 1950): 216–28. doi:10.2307/3029832. http://www.jstor.org/stable/3029832
  
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따라서 <math>N=10^{l}</math> 일때,  (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 <math>l</math>번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.
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==관련도서==
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오차항에 대해서는 <math>2E_{2(M+1)}</math>과 <math>10^{2l}</math> 의 자릿수가 엇비슷해지는 <math>M</math>을 찾았을때 <math>k=M</math> 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다. 
 
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라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.
 
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이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.
 
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예)
 
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<math>N=10^2</math> 인 경우, <math>2E_6</math>가 네자리 수이므로, <math>M=2</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
 
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<math>4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots</math>
 
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0.1'''2'''345'''6'''78'''90'''1234567890123456789012345678901234567890123456789
 
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3.1'''4'''159'''2'''65'''35'''8979323846… (원래 파이값)
 
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3.1'''2'''159'''4'''65'''25'''9101047851… (위의 급수)
 
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.
 
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예)
 
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<math>N=10^3</math> 인 경우, <math>2E_{10}</math>이 여섯자리 수이므로, <math>M=4</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.
 
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<math>4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots</math>
 
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0.12'''3'''45678'''9'''0123'''4'''5678'''901'''23'''45''''''67'''89012345678901234567890123456789
 
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3.1'''41'''59265'''3'''5897'''9'''3238'''462'''64'''33''''''83'''27950288419716939937510582
 
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3.1'''39'''59265'''5'''5897'''8'''3238'''584'''64'''0613'''38053947906585258315983
 
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.
 
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예)
 
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<math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math> 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.
 
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<math>4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots</math>
 
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0.123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78'''901234'''567890123456789
 
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3.141'''5'''926535'''8''''''9'''793238'''46'''26433'''832'''7950'''2884'''19'''716939'''937510582
 
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−
3.141'''3'''926535'''9''''''1'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0''''''114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687
 
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자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다. 
 
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이제 이에 대한 좀더 학술적인 안내를 받고 싶다면, 다음 글을 참고하시라.
 
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−
* [http://www.jstor.org/stable/2324715 Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions]<br>
 
−
** J. M. Borwein, P. B. Borwein and K. Dilcher, The American Mathematical Monthly, Vol. 96, No. 8 (Oct., 1989), pp. 681-687
 
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==== 하위페이지 ====
 
−
 
 
−
* [[원주율(파이,π)|원주율, 파이]]<br>
 
−
** [[라마누잔과 파이]]<br>
 
−
** [[마친(Machin)의 공식]]<br>
 
−
** [[비에타의 공식]]<br>
 
−
** [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]<br>
 
−
** [[파이가 아니라 2파이다?]]<br>
 
−
** [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수이다]]<br>
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
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<h5>관련된 단원</h5>
 
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<h5>많이 나오는 질문</h5>
 
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*  네이버 지식인<br>
 
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** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
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<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
 
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
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* [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0|오일러의 공식]]
 
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* [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
 
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* [[파이(영화)]]
 
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
 
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<h5>관련논문</h5>
 
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* [http://crd.lbl.gov/%7Edhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf The Quest for Pi.]<br>
 
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** David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein and Simon Plouffe.
 
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** June 25, 1996. Ref: Mathematical Intelligencer, vol. 19, no. 1 (Jan. 1997), pg. 50–57
 
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* [http://users.cs.dal.ca/%7Ejborwein/pi-culture.pdf The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond (2004).]<br>
 
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** Borwein, Jonathan
 
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
 
  
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* [http://www.aladdin.co.kr/shop/wproduct.aspx?isbn=8981727937 수학도깨비에게 원주율 배우기]<br>
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** 최행진, 교우사, 2009-03-05
 +
* [http://www.yes24.com/24/goods/340156 파이의 즐거음]<br>
 +
** 데이비드 블래트너, 2003
 
* [http://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC Pi-unleashed]<br>
 
* [http://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC Pi-unleashed]<br>
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** Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, Springer
+
** Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, 2000
 +
* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
 +
** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, 1998
  
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* 도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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==관련기사==
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<h5>관련기사</h5>
 
  
 
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
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** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=원주율]
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=원주율
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** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%ED%8C%8C%EC%9D%B4%EB%8D%B0%EC%9D%B4 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=파이데이]
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=파이데이
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
+
[[분류:원주율]]
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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[[분류:상수]]
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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2015년 3월 15일 (일) 01:20 판

개요

  • 원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
  • 모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다


2519130-circle diagram1.jpg

  • \(\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots\)
  • 수학의 수많은 곳에서 등장한다


표기법의 역사

  • http://collation.folger.edu/2015/03/pi-day-represented/
  • The first time we see the Greek letter π used in connection with circles is in Oughtred’s 1647 Key of the Mathematics. Here, Oughtred used π to represent the periphery (or circumference) of a circle and ∂ to represent the diameter in the ratio.
  • It wasn’t until the beginning of the 18th century that π started to be used in its current way, thanks to to William Jones’s A New Introduction to the Mathematics


원주율의 계산


아르키메데스의 부등식

  • \(223/71 < \pi < 22/7\)



비에타의 공식

  • 1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
  • 원주율의 무한곱 표현\[\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\]



급수표현

\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]



마친의 공식



산술기하평균함수와 파이



라마누잔의 공식

  • 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표\[\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\]
  • 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
  • 비슷한 형태로 다음과 같은 공식\[\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!\]
  • 라마누잔과 파이 항목을 참조

오일러와 파이



BBP 공식

\[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\]



complex multiplication과 파이



파이가 아니라 2파이다?



메모

관련된 항목들

 

 

계산 리소스


사전 형태의 자료



관련논문

관련도서



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