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* <math>\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots</math>
 
* <math>\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots</math>
 
* 수학의 수많은 곳에서 등장한다
 
* 수학의 수많은 곳에서 등장한다
  
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==표기법의 역사==
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* http://collation.folger.edu/2015/03/pi-day-represented/
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* The first time we see the Greek letter π used in connection with circles is in Oughtred’s 1647 Key of the Mathematics. Here, Oughtred used π to represent the periphery (or circumference) of a circle and ∂ to represent the diameter in the ratio.
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* It wasn’t until the beginning of the 18th century that π started to be used in its current way, thanks to to William Jones’s A New Introduction to the Mathematics
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==원주율의 계산==
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* http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piCompute.html
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_%CF%80
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==아르키메데스의 부등식==
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===아르키메데스의 부등식===
  
 
* <math>223/71 < \pi < 22/7</math>
 
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==비에타의 공식==
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===비에타의 공식===
  
 
* 1593년 François Viète에 의해 발견된 [[비에타의 공식]]
 
* 1593년 François Viète에 의해 발견된 [[비에타의 공식]]
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*  원주율의 무한곱 표현<br><math>\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots</math><br>
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*  원주율의 무한곱 표현:<math>\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots</math>
  
 
   
 
   
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==급수표현==
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===급수표현===
  
 
* 1680년경에 발견된 [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]
 
* 1680년경에 발견된 [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]
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:<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
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<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
 
  
 
   
 
   
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==마친의 공식==
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===마친의 공식===
  
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*  1706년 발견된 [[마친(Machin)의 공식]]<br><math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math><br>
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*  1706년 발견된 [[마친(Machin)의 공식]]:<math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math>
  
 
   
 
   
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==오일러와 파이==
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===산술기하평균함수와 파이===
  
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* [[오일러의 공식]]<br><math>e^{i \pi} +1 = 0</math><br>
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|산술기하평균함수(AGM)와 파이)]]
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* [[Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]:<math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math>
 
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*  더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다<br><math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].<br>
 
  
 
   
 
   
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==산술기하평균함수와 파이==
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===라마누잔의 공식===
  
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|산술기하평균함수(AGM)와 파이)]][[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|값의 계산]]
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* 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표:<math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math>
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* 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
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*  비슷한 형태로 다음과 같은 공식:<math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math>
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* [[라마누잔과 파이]] 항목을 참조
  
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==오일러와 파이==
  
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* [[오일러의 공식]]:<math>e^{i \pi} +1 = 0</math>
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* [[Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]:<math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math>
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==라마누잔의 공식==
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*  더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다:<math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].
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* 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표<br><math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math><br>
 
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* 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
 
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*  비슷한 형태로 다음과 같은 공식<br><math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math><br>
 
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* [[라마누잔과 파이]] 항목을 참조
 
  
 
   
 
   
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==BBP 공식==
 
==BBP 공식==
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* [[원주율의 BBP 공식|BBP 공식]] 항목 참조
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:<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)</math>
  
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<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)</math>
 
  
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* [[원주율의 BBP 공식|BBP 공식]] 항목 참조
 
  
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==complex multiplication과 파이==
 
==complex multiplication과 파이==
  
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*  타원곡선의 [[complex multiplication]] 이론과 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]는 다음과 같은 공식들을 이해할 수 있게 해준다<br><math>\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744</math><br><math>e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744</math><br><math>e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744</math><br>
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*  타원곡선의 [[complex multiplication]] 이론과 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]는 다음과 같은 공식들을 이해할 수 있게 해준다:<math>\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744</math>:<math>e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744</math>:<math>e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744</math>
 
* [[숫자 163]], [[숫자 67]] 항목과 [[가우스의 class number one 문제]]
 
* [[숫자 163]], [[숫자 67]] 항목과 [[가우스의 class number one 문제]]
  
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* http://navercast.naver.com/science/math/1094
 
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** [[마친(Machin)의 공식]]<br>
 
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** [[비에타의 공식]]<br>
 
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** [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산]]<br>
 
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** [[원주율의 BBP 공식]]<br>
 
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** [[파이 π는 무리수이다]]<br>
 
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** [[파이 π는 초월수이다]]<br>
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[너드의 길]]
 
* [[너드의 길]]
 
* [[오일러의 공식]]
 
* [[오일러의 공식]]
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
 
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
 
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
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* [[라마누잔과 파이|라마누잔과 파이]]
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* [[라마누잔과 파이]]
 
* [[파이(영화)]]
 
* [[파이(영화)]]
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* [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]<br>
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* [[삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수]]
  
 
 
 
 
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==관련링크와 웹페이지==
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==계산 리소스==
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* http://oeis.org/A000796
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi
 
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/picomputation/PiComputationBib/Links/PiComputationBib_lnk_ 2.html Bibliography for Computation of Pi]
 
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/picomputation/PiComputationBib/Links/PiComputationBib_lnk_ 2.html Bibliography for Computation of Pi]
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
 
   
 
   
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Bailey, David H., Simon M. Plouffe, Peter B. Borwein, and Jonathan M. Borwein. “The Quest for PI.” The Mathematical Intelligencer 19, no. 1 (December 1, 1997): 50–56. doi:10.1007/BF03024340. http://crd.lbl.gov/%7Edhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf  
−
* [http://crd.lbl.gov/%7Edhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf The Quest for Pi.]<br>
+
* Borwein, Jonathan M. “The Life of Π: From Archimedes to ENIAC and Beyond.” In From Alexandria, Through Baghdad, edited by Nathan Sidoli and Glen Van Brummelen, 531–61. Springer Berlin Heidelberg, 2014. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-36736-6_24.
−
** David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein and Simon Plouffe.
+
* Schepler, Herman C. “The Chronology of PI.” Mathematics Magazine 23, no. 4 (March 1, 1950): 216–28. doi:10.2307/3029832. http://www.jstor.org/stable/3029832
−
** June 25, 1996. Ref: Mathematical Intelligencer, vol. 19, no. 1 (Jan. 1997), pg. 50\[Dash]57
 
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* [http://users.cs.dal.ca/%7Ejborwein/pi-culture.pdf The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond (2004).]<br>
 
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** Borwein, Jonathan
 
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* http://www.jstor.org/stable/3029832
 
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==관련도서==
 
==관련도서==
  
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* [http://www.aladdin.co.kr/shop/wproduct.aspx?isbn=8981727937 수학도깨비에게 원주율 배우기]<br>
+
* [http://www.aladdin.co.kr/shop/wproduct.aspx?isbn=8981727937 수학도깨비에게 원주율 배우기]
 
** 최행진, 교우사, 2009-03-05
 
** 최행진, 교우사, 2009-03-05
−
* [http://www.yes24.com/24/goods/340156 파이의 즐거음]<br>
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* [http://www.yes24.com/24/goods/340156 파이의 즐거음]
 
** 데이비드 블래트너, 2003
 
** 데이비드 블래트너, 2003
−
* [http://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC Pi-unleashed]<br>
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* [http://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC Pi-unleashed]
 
** Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, 2000
 
** Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, 2000
−
* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
+
* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]
 
** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, 1998
 
** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, 1998
−
 
−
*  도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss _gw?url=search-alias %3 Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
 
   
 
   
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==관련기사==
 
==관련기사==
  
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=원주율
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=원주율
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=파이데이
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=파이데이
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[[분류:원주율]]
 +
[[분류:상수]]

2020년 11월 16일 (월) 07:40 판

개요

  • 원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
  • 모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다


2519130-circle diagram1.jpg

  • \(\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots\)
  • 수학의 수많은 곳에서 등장한다


표기법의 역사

  • http://collation.folger.edu/2015/03/pi-day-represented/
  • The first time we see the Greek letter π used in connection with circles is in Oughtred’s 1647 Key of the Mathematics. Here, Oughtred used π to represent the periphery (or circumference) of a circle and ∂ to represent the diameter in the ratio.
  • It wasn’t until the beginning of the 18th century that π started to be used in its current way, thanks to to William Jones’s A New Introduction to the Mathematics


원주율의 계산


아르키메데스의 부등식

  • \(223/71 < \pi < 22/7\)



비에타의 공식

  • 1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
  • 원주율의 무한곱 표현\[\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\]



급수표현

\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]



마친의 공식



산술기하평균함수와 파이



라마누잔의 공식

  • 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표\[\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\]
  • 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
  • 비슷한 형태로 다음과 같은 공식\[\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!\]
  • 라마누잔과 파이 항목을 참조

오일러와 파이



BBP 공식

\[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\]



complex multiplication과 파이



파이가 아니라 2파이다?



메모

관련된 항목들

 

 

계산 리소스


사전 형태의 자료



관련논문

관련도서



관련기사

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