유한체 위의 타원곡선에 대한 가우스 정리
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개요
- 유한체 \(\mathbb{F}_p\) 위에 정의된 사영평면 \(\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_p)\)에서 방정식 \(x^3+y^3+z^3=0\)의 해의 개수 \(M_p\)는 다음과 같이 주어진다
- \(p\equiv 2\pmod 3\)이면, \(M_p=p+1\)
- \(p\equiv 1\pmod 3\)이면, \(M_p=p+1+A\). 여기서 \(A\)는 \(A\equiv 1 \pmod 3\)와 적당한 정수 \(B\)가 존재하여 \(4p=A^2+27B^2\)를 만족하는 유일한 정수
테이블
\begin{array}{c|cccc} p & p \bmod 3 & A & p+1+A & M_p \\ \hline 2 & 2 & 0 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 & 4 & 4 \\ 5 & 2 & 0 & 6 & 6 \\ 7 & 1 & 1 & 9 & 9 \\ 11 & 2 & 0 & 12 & 12 \\ 13 & 1 & -5 & 9 & 9 \\ 17 & 2 & 0 & 18 & 18 \\ 19 & 1 & 7 & 27 & 27 \\ 23 & 2 & 0 & 24 & 24 \\ 29 & 2 & 0 & 30 & 30 \\ 31 & 1 & 4 & 36 & 36 \\ 37 & 1 & -11 & 27 & 27 \\ 41 & 2 & 0 & 42 & 42 \\ 43 & 1 & -8 & 36 & 36 \\ 47 & 2 & 0 & 48 & 48 \end{array}
메모
- http://mathoverflow.net/questions/76198/gauss-theorem-and-weil-conjecuters-for-elliptic-curves
- http://www.austms.org.au/Gazette/2008/Sep08/TechpaperBrown.pdf
관련된 항목들
- 이차형식 x^2+27y^2 항목 참조
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련도서
- Silverman, Joseph H. 1992. Rational Points on Elliptic Curves. Springer.