이계 미분방정식

개요

• 선형방정식과 비선형방정식

이계미분방정식의 일계미분방정식으로의 변형

• \(y'' = f(x, y')\) 형태의 미분방정식
  • \(v=y'\) 으로 치환하여 \(v' = f(x, v)\) 를 얻는다
• \(y'' = g(y, y')\) 형태의 미분방정식
  • \(v=y'\) 으로 치환

\[y'' = \frac{dv}{dx}= \frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dy}v\] \[\frac{dv}{dy}v = g(y,v)\] 를 얻는다

예

• 이계미분방정식 \(2y''=3y^2\)
• \(v=y'\) 으로 치환하면 다음을 얻는다

\[2\frac{dv}{dy}v = 3y^2\] \[v^2=y^3+C\] \[(\frac{dy}{dx})^2=y^3+C\]

메모

• QD. SOLUTION BY QUADRATURE

관련된 항목들

• 이계 선형 미분방정식