이차곡선(원뿔곡선)

수학노트
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개요

  • 원뿔의 단면을 통해서 얻어지는 곡선이라서, 원뿔곡선 또는 원추곡선이라 불려진다
  • 평면상에서 곡선의 방정식이 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)의 형태로 주어지기 때문에, 이차곡선이라고 부름.
  • 이 두 가지 관점을 모두 가지고 이해하는 것이 좋다.



원뿔곡선

  • 원뿔의 축과 단면이 이루는 각도에 따라 다른 곡선들이 얻어진다
    • 원 : 축과 단면이 수직인 경우에 얻어짐
    • 쌍곡선 : 축과 단면이 평행한 경우에 얻어짐
    • 타원 : 축과 단면이 수직, 평행하지 않고, 원뿔의 모선과 평행하지 않은 경우에 얻어짐
    • 포물선 : 단면이 원뿔의 모선과 평행한 경우에 얻어짐

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곡선의 방정식과 이차곡선

  • 원뿔곡선의 방정식은 일반적으로 좌표평면에서 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\) 형태로 주어지며, 이차곡선이라 부르기도 한다
  • \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)형태로 주어진 이차식(즉 \(a, b, c\)중 적어도 하나는 0이 아닌 경우)은 다음과 같은 경우로 나눠진다
    • 공집합 ( \(x^2+y^2=-1\))
    • 두 직선 (\(x^2-y^2=0\))
    • 포물선 (\(x^2-y=0\))
    • 타원 (\(2x^2+y^2=1\))
    • 원 (\(x^2+y^2=1\))
    • 쌍곡선 (\(x^2-y^2=1\))
  • 판별식 \(\Delta=b^2-4ac\)
  • 이차식이 이차곡선을 나타내는 경우(즉 공집합이나, 두 직선을 표현하는 경우가 아닐때), 판별식을 통하여 이차곡선이 무엇인지를 알 수있다
    • \(\Delta<0\)인 경우, 타원. 이 때, \(a=c\)인 경우는 원
    • \(\Delta=0\)인 경우, 포물선
    • \(\Delta>0\)인 경우, 쌍곡선
  • http://www.mecca.org/~halfacre/MATH/rotation.htm
  • http://home.scarlet.be/math/reduc.htm



이심률

  • 타원 의 이심률\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, (a>b>0)\] 으로 주어진 타원의 이심률은 \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)



이차곡선을 판별하는 알고리즘

  • 이차식 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)이 주어진 경우



역사



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