이차곡선(원뿔곡선)

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
The printable version is no longer supported and may have rendering errors. Please update your browser bookmarks and please use the default browser print function instead.

개요

  • 원뿔의 단면을 통해서 얻어지는 곡선이라서, 원뿔곡선 또는 원추곡선이라 불려진다
  • 평면상에서 곡선의 방정식이 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)의 형태로 주어지기 때문에, 이차곡선이라고 부름.
  • 이 두 가지 관점을 모두 가지고 이해하는 것이 좋다.



원뿔곡선

  • 원뿔의 축과 단면이 이루는 각도에 따라 다른 곡선들이 얻어진다
    • 원 : 축과 단면이 수직인 경우에 얻어짐
    • 쌍곡선 : 축과 단면이 평행한 경우에 얻어짐
    • 타원 : 축과 단면이 수직, 평행하지 않고, 원뿔의 모선과 평행하지 않은 경우에 얻어짐
    • 포물선 : 단면이 원뿔의 모선과 평행한 경우에 얻어짐

1999008-p108.gif



곡선의 방정식과 이차곡선

  • 원뿔곡선의 방정식은 일반적으로 좌표평면에서 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\) 형태로 주어지며, 이차곡선이라 부르기도 한다
  • \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)형태로 주어진 이차식(즉 \(a, b, c\)중 적어도 하나는 0이 아닌 경우)은 다음과 같은 경우로 나눠진다
    • 공집합 ( \(x^2+y^2=-1\))
    • 두 직선 (\(x^2-y^2=0\))
    • 포물선 (\(x^2-y=0\))
    • 타원 (\(2x^2+y^2=1\))
    • 원 (\(x^2+y^2=1\))
    • 쌍곡선 (\(x^2-y^2=1\))
  • 판별식 \(\Delta=b^2-4ac\)
  • 이차식이 이차곡선을 나타내는 경우(즉 공집합이나, 두 직선을 표현하는 경우가 아닐때), 판별식을 통하여 이차곡선이 무엇인지를 알 수있다
    • \(\Delta<0\)인 경우, 타원. 이 때, \(a=c\)인 경우는 원
    • \(\Delta=0\)인 경우, 포물선
    • \(\Delta>0\)인 경우, 쌍곡선
  • http://www.mecca.org/~halfacre/MATH/rotation.htm
  • http://home.scarlet.be/math/reduc.htm



이심률

  • 타원 의 이심률\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, (a>b>0)\] 으로 주어진 타원의 이심률은 \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)



이차곡선을 판별하는 알고리즘

  • 이차식 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)이 주어진 경우



역사



하위페이지




관련된 항목들



관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들

  • 변환
    • 평행이동
    • 회전변환


관련있는 다른 과목


관련된 대학교 수학

  • 선형대수학
    • 대칭행렬의 대각화
    • 고유벡터, 고유값
    • 이차형식의 대각화
  • 대수기하학
    • 다항식으로 정의되는 도형에 대한 일반화 및 체계적인 공부



사전 형태의 자료



관련논문



블로그


동영상 강좌

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'conic'}, {'LEMMA': 'section'}]
  • [{'LOWER': 'conic'}, {'LEMMA': 'curve'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=이차곡선(원뿔곡선)&oldid=52440"