"이차잉여의 상호법칙"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
28번째 줄: 28번째 줄:
 
* 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>가 주어져 있을 때, <math>\pmod p</math> 를 고려할 때, 어떻게 인수분해되는가
 
* 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>가 주어져 있을 때, <math>\pmod p</math> 를 고려할 때, 어떻게 인수분해되는가
 
* 인수분해되는 방식에 따라서 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
 
* 인수분해되는 방식에 따라서 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
−
*  이차잉여의 상호법칙의 경우에는 <math>f(x)=x^2-a </math>로 주어지며, <math>x^2\equiv a \pmod p</math><br>  <br>
+
*  이차잉여의 상호법칙의 경우 가령,  <math>f(x)=x^2-5</math>라면,<br><math>\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases}  +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}</math><br>  <br>
  
 
 
 
 

2009년 9월 26일 (토) 04:47 판

간단한 소개
  • 이차인 합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제.
  • 르장드르 부호

\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\)

 

 

(정리) 이차잉여의 상호법칙

홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여,

 \(\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\)

 

\(\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\) 형태로 쓸 수도 있음.

 

 

'상호법칙'이란
  • 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)가 주어져 있을 때, \(\pmod p\) 를 고려할 때, 어떻게 인수분해되는가
  • 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
  • 이차잉여의 상호법칙의 경우 가령,  \(f(x)=x^2-5\)라면,
    \(\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\)
     

 

 

많이 나오는 질문

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

관련도서 및 추천도서

 

관련논문

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=이차잉여의_상호법칙&oldid=17003"