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2009년 12월 12일 (토) 16:52 판
간단한 소개
- 이차인 합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제.
- 르장드르 부호
\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\)
(정리) 이차잉여의 상호법칙
홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여,
\(\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\)
\(\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\) 형태로 쓸 수도 있음.
'상호법칙'이란
- 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)가 , \(\pmod p\) 어떻게 인수분해되는가
- 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
- \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
\(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f(x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해됨
\(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f(x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
많이 나오는 질문
관련된 다른 주제들
- 가우스합
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관련도서 및 추천도서
- Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers
- Avner Ash, Robert Gross
- Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein
- Franz Lemmermeyer (Springer, 2000)
- The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity
- Michael C. Berg
- 도서내검색
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관련논문
- Applications of heat kernels on abelian groups: ζ(2n), quadratic reciprocity, Bessel integrals
- Anders Karlsson
- Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application
- David A. Cox, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
- Euler and Quadratic Reciprocity
- Harold M. Edwards, Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
- Why Study Equations over Finite Fields?
- Neal Koblitz, Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
- What is a Reciprocity Law?
- B. F. Wyman, The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
- Theorems on Quadratic Residues
- Albert Leon Whiteman, Mathematics Magazine, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74
- http://ko.wikipedia.org/wiki/이차잉여
- http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_reciprocity
관련기사
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