"이차잉여의 상호법칙"의 두 판 사이의 차이

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<h5>'상호법칙'이란</h5>
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<h5>'상호법칙(reciprocity law)'이란</h5>
  
 
* 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
 
* 문제 : 정수계수 다항식 <math>f(x)</math>를 <math>\pmod p</math>로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
 
* 인수분해되는 방식에 따라서 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
 
* 인수분해되는 방식에 따라서 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
 
* <math>f(x)=x^2-5</math>라면,  홀수인 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다<br><math>p\equiv 1,4 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 두 개의 일차식으로 분해됨<br><math>p\equiv 2,3 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 분해되지 않음<br>
 
* <math>f(x)=x^2-5</math>라면,  홀수인 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다<br><math>p\equiv 1,4 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 두 개의 일차식으로 분해됨<br><math>p\equiv 2,3 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 분해되지 않음<br>
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* [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] 항목 참조
  
 
 
 
 

2012년 8월 26일 (일) 05:43 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 정수 a를 소수 p로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 p로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
  • 소수 p에 대하여, 이차합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다

 

 

이차잉여
  • 합동식 (모듈로 modulo 연산)
  • 소수 3에 대한 이차잉여
    • 3으로 나눈 나머지가 1인수
  • 소수 5에 대한 이차잉여
    • 5로 나눈 나머지가 1 또는 4
  • 소수 7에 대한 이차잉여
    • 7로 나눈 나머지가 1,2,4 인 정수

 

 

'상호법칙(reciprocity law)'이란
  • 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
  • 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
  • \(f(x)=x^2-5\)라면,  홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
    \(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f(x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해됨
    \(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f(x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
  • 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) 항목 참조

 

 

르장드르 부호

\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\)

 

 

정리

(정리) 이차잉여의 상호법칙

홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여,

 \(\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\)

 

\(\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\) 형태로 쓸 수도 있음.

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련도서

 

관련논문

 

 

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