이차잉여의 상호법칙

개요

• 정수 a를 소수 p로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 p로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
• 소수 p에 대하여, 이차합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다

이차잉여

• 합동식 (모듈로 modulo 연산)
• 소수 3에 대한 이차잉여
  
  • 3으로 나눈 나머지가 1인수
• 소수 5에 대한 이차잉여
  
  • 5로 나눈 나머지가 1 또는 4
• 소수 7에 대한 이차잉여
  
  • 7로 나눈 나머지가 1,2,4 인 정수

'상호법칙 (reciprocity law)'이란

• 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
• 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
• \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
  \(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해됨
  \(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
  
• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) 항목 참조

르장드르 부호

• 르장드르 부호와 자코비 부호

\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\)

정리

(정리) 이차잉여의 상호법칙

홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여,

\(\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\)

\(\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\) 형태로 쓸 수도 있음.

역사

• 1796년 가우스에 의해 처음으로 증명
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quadratic+reciprocity
• 수학사연표

메모

• http://mathoverflow.net/questions/1420/whats-the-best-proof-of-quadratic-reciprocity
• http://mathoverflow.net/questions/43240/what-is-the-l-function-version-of-quadratic-reciprocity
• http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=이차잉여

관련된 항목들

• 가우스합
• 더 일반적인 상호법칙들(reciprocity laws)
• 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• Chebotarev density theorem
• 세타함수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMTVkNzg5MzAtMDAxZi00YWFmLWJkMGMtMTY2ZWY2NjlhMGYw&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

• 매스매티카 파일 목록

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_residue

관련도서

• Avner Ash, Robert Gross Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers
• Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein
  
  • Franz Lemmermeyer (Springer, 2000)
• The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity
  
  • Michael C. Berg
• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss _gw?url=search-alias %3 Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

관련논문

• Applications of heat kernels on abelian groups: \[Zeta(2n), quadratic reciprocity, Bessel integrals]
  
  • Anders Karlsson
• Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application
  
  • David A. Cox, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
• Harold M. Edwards, Euler and Quadratic ReciprocityMathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
• Why Study Equations over Finite Fields?
  
  • Neal Koblitz, Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
• What is a Reciprocity Law?
  
  • B. F. Wyman, The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
• Theorems on Quadratic Residues
  
  • Albert Leon Whiteman, Mathematics Magazine, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74

==사전 형태의 참고자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/이차잉여
• http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_reciprocity

블로그

• http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=이차잉여