이차잉여의 상호법칙

개요

• 정수 \(a\)를 소수 \(p\)로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 \(p\)로 나눈 나머지와 같으면 \(p\)에 대한 이차잉여라 한다
• 소수 \(p\)에 대하여, 이차합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
• 두 홀수인 소수 \(p,q\)가 서로의 법에 대한 이차잉여가 될 조건은 긴밀히 연관되어 있으며, 이를 이차잉여의 상호법칙이라 한다
• 정수론의 중심적인 주제인 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)의 시작

이차잉여

예

• 합동식 (모듈로 modulo 연산)
• 소수 3에 대한 이차잉여
  • 3으로 나눈 나머지가 1인수
• 소수 5에 대한 이차잉여
  • 5로 나눈 나머지가 1 또는 4
• 이차잉여를 판정하는 하나의 방법은 가우스의 보조정리(Gauss's lemma)를 사용하는 것이다

테이블

• 처음 몇개의 소수에 대한 이차잉여와 비이차잉여

\[ \begin{array}{c|c|c} \text{} & \text{quadratic residue} & \text{quadratic nonresidue} \\ \hline 2 & \{1\} & \{\} \\ 3 & \{1\} & \{2\} \\ 5 & \{1,4\} & \{2,3\} \\ 7 & \{1,2,4\} & \{3,5,6\} \\ 11 & \{1,3,4,5,9\} & \{2,6,7,8,10\} \\ 13 & \{1,3,4,9,10,12\} & \{2,5,6,7,8,11\} \\ 17 & \{1,2,4,8,9,13,15,16\} & \{3,5,6,7,10,11,12,14\} \\ 19 & \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} & \{2,3,8,10,12,13,14,15,18\} \\ 23 & \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} & \{5,7,10,11,14,15,17,19,20,21,22\} \\ 29 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} & \{2,3,8,10,11,12,14,15,17,18,19,21,26,27\} \end{array} \]

• 이차잉여 항목 참조

르장드르 부호

• 정수 \(a\)와 홀수인 소수 \(p\) 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다

\[\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\]

• 르장드르 부호와 자코비 부호 항목 참조

테이블

• 처음 몇 개의 소수들에 대한 르장드르 부호 \(\left(\frac{y}{x}\right)\)의 계산

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x\ddots y & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 & 47 & 53 \\ \hline 3 & & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ \hline 5 & -1 & & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 \\ \hline 7 & 1 & -1 & & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ \hline 11 & -1 & 1 & 1 & & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ \hline 13 & 1 & -1 & -1 & -1 & & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ \hline 17 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 19 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & & -1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \hline 23 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline 29 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 \\ \hline 31 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ \hline 37 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & & 1 & -1 & 1 & 1 \\ \hline 41 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & & 1 & -1 & -1 \\ \hline 43 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & & -1 & 1 \\ \hline 47 & -1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & & 1 \\ \hline 53 & -1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & \end{array} \]

이차잉여의 상호법칙

'상호법칙 (reciprocity law)'이란

• 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
• 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
• \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
  • \(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해
  • \(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) 항목 참조

상호법칙

정리

홀수인 서로 다른 소수 \(p, q\)에 대하여, \[\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\] 또는 \[\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\] 형태로 쓸 수도 있음. 다음과 같은 보조 법칙이 성립 \[ \left(\frac{-1}{p}\right)= (-1)^\frac{p-1}{2},\;\;\; \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^\frac{p^2-1}{8}. \]

정리

\(p\nmid 2n\)인 모든 소수에 대하여 \(\left(\frac{n}{p}\right)=\chi(p)\)를 만족하는 준동형사상 \(\chi:(\mathbb{Z}/4n\mathbb{Z})^{\times}→\{1,−1\}\)가 존재한다

상호법칙의 증명

• 아이젠슈타인의 이차잉여의 상호법칙 증명

역사

• 1796년 가우스에 의해 처음으로 증명
• 수학사 연표

메모

• http://mathoverflow.net/questions/1420/whats-the-best-proof-of-quadratic-reciprocity
• http://mathoverflow.net/questions/43240/what-is-the-l-function-version-of-quadratic-reciprocity
• http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=이차잉여

관련된 항목들

• 가우스 합
• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)
• 3차 상호법칙
• 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• 프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리
• 자코비 세타함수

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMTVkNzg5MzAtMDAxZi00YWFmLWJkMGMtMTY2ZWY2NjlhMGYw/edit?pli=1

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/이차잉여
• http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_residue
• http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_reciprocity

관련도서

• Avner Ash, Robert Gross Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers
• Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein
  • Franz Lemmermeyer (Springer, 2000)
• The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity
  • Michael C. Berg

리뷰, 에세이, 강의노트

• Anders Karlsson, Applications of heat kernels on abelian groups\[\zeta(2n)\], quadratic reciprocity, Bessel integrals
• David A. Cox, Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
• Harold M. Edwards, Euler and Quadratic ReciprocityMathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
• Neal Koblitz, Why Study Equations over Finite Fields? Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
• B. F. Wyman, What is a Reciprocity Law? The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
• Albert Leon Whiteman Theorems on Quadratic Residues, Mathematics Magazine, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74

메타데이터

위키데이터

• ID : Q878259

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'quadratic'}, {'LEMMA': 'residue'}]