이차잉여의 상호법칙

수학노트
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2014년 1월 14일 (화) 18:35 판
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개요

  • 정수 a를 소수 p로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 p로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
  • 소수 p에 대하여, 이차합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다


이차잉여

예

테이블

\begin{array}{c|c} p & \text{quadratic residue} \\ \hline 2 & \{1\} \\ 3 & \{1\} \\ 5 & \{1,4\} \\ 7 & \{1,2,4\} \\ 11 & \{1,3,4,5,9\} \\ 13 & \{1,3,4,9,10,12\} \\ 17 & \{1,2,4,8,9,13,15,16\} \\ 19 & \{1,4,5,6,7,9,11,16,17\} \\ 23 & \{1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\} \\ 29 & \{1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28\} \\ \end{array}


'상호법칙 (reciprocity law)'이란

  • 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
  • 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
  • \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
    • \(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해
    • \(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
  • 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) 항목 참조


르장드르 부호

\[\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\]


이차잉여의 상호법칙

정리

홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여, \[\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\] 또는 \[\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\] 형태로 쓸 수도 있음.


역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료


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리뷰, 에세이, 강의노트

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