"이차 수체의 데데킨트 제타함수"의 두 판 사이의 차이

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<math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
 
<math>\zeta(s)</math> 는 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]
  
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<math>L_{d_K}(s)</math>는 디리클레 L 함수([[디리클레 L-함수]] 항목 참조)
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 <math>L_{d_K}(s)=\prod_{p \text{:primes}} \frac{1}{1-\left(\frac{d_K}{p}\right)p^{-s}}</math> ( [[디리클레 L-함수]])
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<math>\chi</math>는 <math>d_K</math>를 나누지 않는 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>\chi(p)=\left(\frac{d_K}{p}\right)</math> 를 만족시키는 준동형사상 <math>\chi \colon(\mathbb{Z}/d_K\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}</math>
 
  
 
*  일반적으로 <math>{d_K}=d_1d_2</math>에 대응되는 genus character <math>\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}</math>  (<math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)<br>
 
*  일반적으로 <math>{d_K}=d_1d_2</math>에 대응되는 genus character <math>\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}</math>  (<math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)<br>

2012년 6월 1일 (금) 16:43 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}\)

 

 

제타함수의 분해
  • (정리)

\(\zeta_{K}(s)=\prod_{\wp \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(\wp)^{-s}}=\zeta(s)L_{d_K}(s)\)

  • 위에서 사용된 기호들에 대한 설명

\(\zeta(s)\) 는 리만제타함수와 리만가설

 \(L_{d_K}(s)=\prod_{p \text{:primes}} \frac{1}{1-\left(\frac{d_K}{p}\right)p^{-s}}\) ( 디리클레 L-함수)

  • 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있고, 두 디리클레 L-함수의 곱으로 표현가능함 (아래 정리 참조)
  • 위의 경우는 \({d_K}=1\cdot d_K\) 에 해당

 

(정리)

\(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\)  (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\))에 대하여

\(L(\chi,s) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\)

(증명)

\(L(\chi,s) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \prod_{\mathfrak{p} \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-\chi(\mathfrak{p})N(\mathfrak{p})^{-s}}\)

\((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)

\((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)

\((p)=\mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2\)

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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