"자연상수 e는 무리수이다"의 두 판 사이의 차이

2009년 8월 15일 (토) 21:46 판

다음 식

\(\sum_{i = 0}^{\infty}\frac{1}{i!} = e\)

이 성립함을 받아들인다면, 고등학교 수학 수준으로 증명할 수 있다. 증명은 귀류법을 사용한다. (위 급수는 지수함수에 대한 테일러 전개를 이용하여 얻을 수 있다.)

결론을 부정하여 자연상수가 유리수라고 하고, 서로소인 두 자연수 \(p\) 와 \(q\) 에 대해 \(\sum_{i = 0}^{\infty}\frac{1}{i!} = \frac{q}{p}\) 라고 하자.

\(n > 3\) 이면 \(n! > n(n-1)\) 이므로, \(e=1+1+\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{i!} <3\) 이다. 그러므로 \(2 < e < 3\) 이므로, \(p>1\) 이다.

양변에 \(p!\) 를 곱하면 다음을 얻는다.

\(q(p-1)! = (p!+\cdots+p(p-1)+p+1)+\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)(p+3)}+\cdots\)

여기서 좌변은 자연수이고, 우변의

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+<math>n > 3</math> 이면 <math>n! > n(n-1)</math> 이므로, <math>e=1+1+\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{i!} <3</math> 이다. 그러므로 <math>2 < e < 3</math> 이므로, <math>p>1</math> 이다.
+양변에 <math>p!</math> 를 곱하면 다음을 얻는다.
+<math>q(p-1)! = (p!+\cdots+p(p-1)+p+1)+\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)(p+3)}+\cdots</math>
+여기서 좌변은 자연수이고, 우변의