자코비 세타함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 12일 (화) 20:53 판
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개요
  • 세타함수의 정의 (spectral decomposition of heat kernel)
    \(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\), \(x=e^{\pi i \tau}\)

\(\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\)

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

 

 

 

많이 사용되는 또다른 정의
  • 전통적인 세타함수
    \(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\)
  • 현대의 수학문헌에서는 다음과 같은 함수도 같은 이름으로 자주 사용됨
    \(\Theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)
  • \(\Theta(\tau)\) 는 \(\Gamma_0(4)\)에 대한 모듈라 형식이 됨
    \(\Gamma_0(4) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} {*} & {*} \\ 0 & {*} \end{pmatrix} \pmod{4} \right\}\)

 

 

 

여러가지 공식들

\(\theta_2^4(q)+\theta_4^4(q)=\theta_3^4(q)\)

\(\theta_3^2(q^2)+\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)

\(\theta_3^2(q^2)-\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)

 

 

세타함수의 모듈라 성질

\(\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})=\sqrt{-i\tau}\theta({\tau})\)

여기서 \(-\frac{\pi}{4}<\arg \sqrt{-i\tau}<\frac{\pi}{4}\) 이 되도록 선택

\(\tau=iy, y>0\) 으로 쓰면,

\(\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)\)

 

(증명)

포아송의 덧셈 공식을 사용한다.

\(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\)

\(f(x)=e^{\pi i x^2\tau\)의 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다.

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{\xi^2}{\tau}\)

\(\theta(\tau)= \sum_{\in \mathbb Z} \exp(\pi i n^2\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\sum_{n\in \mathbb Z}e^{-\pi i n^2 \frac{1}{\tau}}=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\theta(-\frac{1}{\tau})\)  ■

 

  • \(\Gamma(2)\)에 대한 모듈라 형식이 됨
    \(\Gamma(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}\)

 

 

가우스합과의 관계
  • 가우스합
    \(S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{2\pi i pr^2/q}\)
  • 아래의 식은 cusp에서 세타함수가 어떻게 변하는지를 보여준다

(정리)

\(\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{2q}S(p,2q)\)

(증명)

\(\theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2(\frac{p}{q}+i\epsilon)}= \sum_{r=0}^{2q-1}e^{i\pi p r^2/q} \sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (2ql+r)^2}\)

따라서, 

\(\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{2q} \sum_{r=0}^{2q-1}e^{i\pi p r^2/q} \sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (2ql+r)^2} (2q \sqrt{\epsilon})\)

여기서 \(\Delta{x}=2q \sqrt{\epsilon}\)로 두면, 

\(\sum_{l=-\infty}^\infty e^{-\pi \epsilon (2ql+r)^2} (2q \sqrt{\epsilon})=\sum_{x\in\sqrt{\epsilon}(2q\mathbb{Z}+r)}e^{-\pi x^2}\Delta x\)

\(\epsilon \to 0\) 이면 위의 리만합은 적분으로 수렴하게 된다. 따라서

\(\lim_{\epsilon \to 0}\sqrt{\epsilon} \theta(\frac{p}{q}+i\epsilon)=\frac{1}{2q} \sum_{r=0}^{2q-1}e^{i\pi p r^2/q} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\frac{1}{2q}S(p,2q)\) ■

  • 이 결과에 세타함수의 모듈라 성질을 적용하면, 다음을 얻는다

(정리)

 

 

(증명)


 

■

 

세타함수의 삼중곱 정리(triple product)

\(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\)

\(z=1\) 인 경우

\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)

 

(증명)

q-초기하급수(q-hypergeometric series)

\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

\(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

를 활용

 

\(\prod_{m=0}^\infty \left( 1 + zq^{2m+1}\right)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^nz^n}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}\)

[Andrews65] 참조 ■


데데킨트 에타함수와의 관계

\(\theta(\tau)=\frac{\eta(\tau)^5}{\eta(2\tau)^2\eta(\frac{\tau}{2})^2}\)

삼중곱 공식을 이용

\(\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right) \left( 1 + x^{2m-1}\right)\)

\(q=e^{2\pi i \tau}\), \(x=e^{\pi i \tau}\)

 

 

singular value k와의 관계

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

 

 

세타함수와 AGM iteration

\(\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3^2(q^2)\)

\(\sqrt{\theta_3^2(q)\theta_4^2(q)}=\theta_4^2(q^2)\)

따라서 \(a_n=\theta_3^2(q^{2^n}),b_n=\theta_4^2(q^{2^n})\) 라 하면, \(a_n, b_n\)은 AGM iteration 을 만족하고 \(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)이고, \(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))\)가 된다.

 

 

제1종타원적분과의 관계

(정리)

주어진 \(0<k<1\) 에 대하여, \(k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}\)를 만족시키는 \(q\)가 존재한다. 이 때,

\(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\) 와 \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)가 성립한다.

여기서  \(K(k)\)는 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind).

 

(증명)

\(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))=\theta_3^{2}(q)M(1,\frac{\theta_4^2(q)}{\theta_3^2(q)})=\theta_3^{2}(q)M(1,k')\)

그러므로, \(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\)이다.

한편, 란덴변환에 의해 \(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)가 성립(타원적분과 AGM의 관계 , 란덴변환과 AGM 참조)하므로,  \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)도 증명된다. (증명끝)

 

 

special values

\(\theta_3(i)=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}}\)

(증명)

감마함수의 다음 성질을 사용하면\(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)

\(\Gamma(\frac{1}{4})\Gamma(\frac{3}{4}) = \sqrt{2}{\pi \)

위에서 증명한 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)과의 관계로부터

\(K(k(\tau)) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(\tau)\)

\(\frac{\pi}{2}\theta_3^2(i)=K(k_1)=K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}\)

\(\theta_3^2(i)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{2{\pi}^{3/2}}=\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})^2}\) ■

 

\(\theta_3(i)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}}\)

 

 

재미있는 사실

\(f(\tau)=1+2\sum_{n=1}^{\infty}e^{\pi i n \tau}\)

\(f(i)=1+2\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n\pi}= \frac{e^{\pi} + 1} {e^{\pi} - 1}\)

\(\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\)

 

\(\theta(i)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{\Gamma(\frac{3}{4})}}\)

 

\(\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\pi n}=\frac{e^{\pi}}{e^{\pi}-1}\)

\(\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^2}=\frac{\sqrt[4]{\pi}}{2\Gamma(\frac{3}{4})}+\frac{1}{2}\)

\(\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^3}=?\)

\(\sum_{n=0}^\infty e^{-\pi n^4}=?\)

 

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

표준적인 도서 및 추천도서
  • Brief Introduction to Theta Functions
    • BELLMAN, RICHARD
  • Tata Lectures on Theta I,II,III
    • David Mumford

 

 

사전 형태의 자료

 

 

 

관련논문
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