점화식

• 점화식 : 항 사이의 관계식을 써서 수열을 나타낸 식.

 

점화식의 풀이법 : 아래 본문

 

Tip) 점화식을 유형별로 분류하여 일반항을 외우지 않는 것을 추천함. 어떤 느낌으로 기본적인 점화식으로 변형할 수 있는지만 기억해 두면 됩니다. 익숙해지면 기본적인 점화식으로 변형해서 푸는 것이 더 빨라짐. 제발 부탁이니 수많은 점화식을 다 외우는 뻘짓을 하지 않기를 바랍니다. 그 뻘짓을 하신다면 이 글도 작성자의 뻘짓이 되는 겁니다 ㅠ

 

• 점화식을 푸는 것이란 : 점화식이 만족하는 수열의 일반항을 알아 내는 것.
  보통의 경우 초기항이 주어져야 완전한 답을 낼 수 있다.
   
  
• 기본적인 점화식:
  
  • \(a_{n+1} - a_n = c\) : 등차수열
  • \(a_{n+1} / a_n = c\) : 등비수열
  • \(a_{n+1} - a_n = b_n\) : 위의 <계차수열> 참고.
  • \(a_{n+1} / a_n = b_n\) : 계차수열을 통한 풀이에서, <모든 항을 더하>지 않고 <모든 항을 곱하>면 됨.
• 기본 점화식의 응용
  
  • \(a_{n+1} = ka_n + c\)
    
    • 양변에 적당한 상수를 더하면 \((a_{n+1} + p)= k(a_n + p)\) 꼴로 만들 수 있다.
    • 일반항이 \((a_n + p)\) 인 수열은 공비 \(k\) 인 등비수열, \(a_n + p =(a_1 + p) k^{n-1}\)
    • 적당한 상수 \(p\) 는 어떻게 찾냐고? 생각해 볼 것.
       
      
    • ex) \(a_{n+1} = 2a_{n} + 3\), 초기항 1
      양변에 3을 더하면 \((a_{n+1} +3 )= 2( a_{n} + 3)\), 적당한 상수 \(k\) 에 대하여 \(a_{n} + 3 = k 2^n\)
      초항을 만족시키는 \(k\) 값은 2이므로, \(a_n = 2^{n+1} - 3\)
       
      
  • 점화식에 덧셈 기호가 없을 때
    
    • 로그를 취하면 도움이 됨. 로그의 밑은 계산이 간단하도록 적절히 선택하기.
       
      
    • ex) \(a_{n+1} = 4a_n^2\) : 밑 2 인 로그를 취하면 \(\log a_{n+1} = 2\log a_n + 2\)
      이제 \(\log a_n = b_n\)에 대한 점화식을 풀면 됨. (양변에 2를 더해서 …)
       
      
  • 점화식이 분수꼴일때
    
    • 역수를 취하면 도움이 될 때가 많음. (만능은 아님)
       
      
    • ex) \({a_{n+1}} = \frac{2a_n}{3a_n+1}\) : 역수를 취하면 \(\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \frac{1}{a_n} + \frac{3}{2}\). 이제 \(b_n = \frac{1}{a_n}\) 에 대한 점화식으로 보고 풀면 됨.
       
      
  • 점화식에 \(a_n\) 과 \(S_n\) 이 함께 나올 때
    
    • \(S_n - S_{n-1}=a_n\)\((n \ge 2)\) , \(S_1 = a_1 \) 의 관계를 사용하면 \(a_n\) 만의 점화식으로 만들 수 있다.
       
      
    • ex) \( a_n = 2 S_n + 3^n\) 일 때, \( a_1 = 2 a_1 + 3\) 이므로 \(a_1 = -3\)
      \(a_{n+1} = 2 S_{n+1} + 3^{n+1}\) 식과 \( a_n = 2 S_n + 3^n\) 식을 빼 주면 \(a_{n+1} - a_n = 2 a_{n+1} + 2\cdot 3^{n}\)
      이제부터는 알아서 할 것. 부분합과 일반항이 함께 등장하는 점화식에서는 초기 조건에서 실수를 할 가능성이 높으므로, \(a_1, a_2, a_3\) 정도는 점화식으로부터 직접 구해 보는 것이 좋을 것이다. 그리고 구한 일반항 \(a_n\) 은 \((n \ge 2)\) 에서만 성립하는 식일 가능성도 있다.
       
      
  • \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식
    
    • \(p+q+r =0\) 일 때
      
      • 잘 정리하면 \(a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)\) 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 \(b_n = a_{n+1} - a_{n}\) 에 대한 등차수열이라고 생각하고, \(b_n\) 을 구한다.
      • 계차수열을 알 때 일반항을 구하는 건 할 수 있지?
    • \(p+q+r \ne 0 \) 일 때 : (교육 과정 외, 이 점화식만은 외우는 것을 권장함. 유도 과정이 너무 길다.)
      
      • 결론부터 말하자면,
        
        • \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 하면, \(a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}\) 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
        • 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우에는 \(a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}\) 꼴이 된다.
      • \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근 \(\alpha, \beta\) 에 대하여, \(p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r\) 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로
        \(a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0\) 라고 쓸 수 있다.
        이제 \(a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)\) 으로 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\beta a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.
        \(a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)\) 로도 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\alpha a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.
        연립해서 \(a_{n+1}\) 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다.
        이 점화식을 \(p+q+r=0\) 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.
         
        
      • ex) 피보나치 수열 \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\) 의 일반항을 구하시오. (\(a_1 = a_ 2 = 1\))

 

• \(a_{n+1} = ra_n + b_n\) 꼴의 점화식
  
  • 양변을 \(r^{n+1}\) 로 나눈 후, \(a_n / r^n\) 에 대한 점화식을 푸는 것이 한 방법. \(b_n\) 이 등비수열인 경우 효과적이다.
  • 양변에 적당히 \(n\) 에 대한 식을 더해서 공비 \(r\) 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.
    
    • \(b_n\) 이 다항식인 경우, 양변에 \(b_n\) 과 같은 차수의 다항식을 (계수를 문자로 두고) 더해서, 등비수열 꼴로 만든 후에 계수 비교를 통해 문자를 찾는다.
       
      
    • ex ) \(a_{n+1} = 2a_n + 3n + 5\) 인 경우, 양변에 \(pn + q\) 를 더하면
      \(a_{n+1} + pn + q = 2a_n + (3+p)n + (5+q)\)
      우변이 \(2(a_n+ pn + q)\) 인 경우에 등비수열이 되니까, \(3+p = 2p, \quad 5+q=2q\) 이므로 \(p=3, \quad q=5\). 그러므로
      \(a_n + 3n + 5 = k2^n\). 초기항이 주어진 경우 k 를 찾을 수 있다.
       
      
• \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n\) 꼴의 점화식
  
  • 양변에 적당히 \(n\) 에 대한 식을 더해서 공비 \(r\) 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.

 

 

• 점화식의 풀이 중에는 미분방정식의 풀이와 유사한 것이 많다.