점화식, 미분방정식, 선형대수학
개요
선형점화식
\(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식
점화식의 해가 되는 수열들의 집합은 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.
수열 \(\alpha^{n}\)와 \(\beta^{n}\)는 선형독립인 두 해가 된다.
따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(a_n = A\alpha^{n} + B\beta^{n}\) 꼴로 주어진다.
특성방정식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 가 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우
수열 \(\alpha^{n} \)와 \(n\alpha^{n} \)는 선형독립인 두 해가 된다.
따라서 점화식의 일반해는 \(a_n = A\alpha^{n} + Bn\alpha^{n}\) 꼴로 주어진다.
(증명)
수열 \(n\alpha^{n} \)이 점화식의 해가 되는지를 확인하면 된다.
\(p(n+2)\alpha^{n+2} + q(n+1)\alpha^{n+1} + rn\alpha^{n} =(n(p\alpha^2+q\alpha+r)+(2p+q)) \alpha^n=0\)
여기서 \(px^2 + qx + r = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(p\alpha^2+q\alpha+r=0, 2p+q=0\)이다.
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상수계수 이계 선형미분방정식
\(ay''+by'+cy=0\)
선형미분방정식의 해는 2차원 벡터공간을 이루므로, 두 개의 선형독립인 해를 찾으면 된다.
특성방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \) 가 서로 다른 두 근을 \(\alpha, \beta\) 를 갖는 경우.
함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(e^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.
따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Be^{\beta t}\) 꼴로 주어진다.
특성방정식 \(ax^2 + bx + c = 0 \) 가 중근을 \(\alpha\) 를 갖는 경우.
함수 \(e^{\alpha t}\)와 \(te^{\beta t}\)는 선형독립인 두 해가 된다.
따라서 점화식의 일반해는 그 선형결합 \(y(t) = Ae^{\alpha t} + Bte^{\alpha t}\) 꼴로 주어진다.
(증명)
\(ax^2 + bx + c = 0 \)가 중근 \(\alpha\)을 가지므로 \(a\alpha^2+b\alpha+c=0, 2a+b=0\)이다.
\(y(t) = te^{\alpha t}\) 라 하자.
\(y'(t) = (\alpha t+1)e^{\alpha t}\)
\(y''(t) = (\alpha^2 t+2\alpha)e^{\alpha t}\)
미분방정식에 대입하면,
\(ay''(t)+by'(t)+cy =\{a(\alpha^2 t+2\alpha)+b(\alpha t+1)+ct\}e^{\alpha t}=\{(a\alpha^2 +b\alpha+c)t+(2a \alpha +b)\}e^{\alpha t}=0\) ■