"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이

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==이 항목의 스프링노트 원문주소==
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* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
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==개요==
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* <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 정수계수 다항식<br>
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*  자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작<br>
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** [[페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리]]<br>
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==기본용어==
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*  판별식<br><math>\Delta=b^2-4ac</math><br>
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*  이차형식의 동치류<br>
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**  다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의<br><math>x \to x+y</math> , <math>y \to y</math><br><math>x \to x</math>, <math>y \to x+y</math><br> 행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 [[모듈라 군(modular group)]]을 생성함<br><math>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math>, <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} </math><br>
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**  즉 <math>f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)</math> 인 정수 <math>ad-bc= 1</math> 가 존재하면, <math>f\sim g</math> 이라 함<br>
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*  primitive 이차형식<br><math>a,b,c</math> 가 서로소인 이차형식 <math>ax^2+bxy+cy^2</math><br>
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==중요한 문제들==
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*  주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제<br>
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** 예) <math>x^2+ny^2</math> 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
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** 예) <math>x^2+ny^2</math> 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
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*  주어진 판별식<math>\Delta</math> 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제<br>
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** <math>\Delta=b^2-4ac</math>를 만족시키는 모든 <math>ax^2+bxy+cy^2</math> 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것<br>
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**  주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다<br>
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**  판별식이 <math>\Delta</math>인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 <math>h(\Delta)</math>를 <math>\Delta</math>에 대한 [[수체의 class number|class number]] 라 함<br>
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**  genus의 개념<br>
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==기약형식==
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*  주어진 이차형식이 있을때, <br>
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*  모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다<br><math>R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}</math><br> + 경계조건<br>
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*  기약 형식<br>
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**  양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름<br><math>|b|\leq a \leq c</math> and <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math><br>
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* <math>ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)</math>, <math>\mbox{Im}\, \tau >0</math> 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다<br><math>|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}</math><br><math>a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1</math><br> fundamental domain의 경계조건은 <math>b \geq 0</math> if either <math>|b|=a </math> or <math>a=c</math> 로 옮겨짐<br>
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(정리)
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<math>\tau</math> (<math>\mbox{Im}\, \tau >0</math>) 에 대응되는 이차형식은 <math>x=aX+bY, y=cX+dY</math> (여기서 <math>a,b,c,d</math>는 정수이고 <math>ad-bc= 1</math>)에 의해 <math>\frac{a\tau+b}{c\tau+d}</math> 에 대응되는 이차형식으로 변환된다.
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==판별식이 작은 경우의 기약형식 예==
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* 자세한 목록은 [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록|판별식이 작은 경우의 이차형식 리스트]] 항목 참조
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-3</math><br>
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** <math>x^2+xy+y^2</math>
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-4</math><br>
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** <math>x^2+y^2</math>
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-8</math><br>
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** <math>x^2+2y^2</math>
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-15</math><br>
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** <math>x^2+xy+4y^2</math>, <math>2x^2+xy+2y^2</math>
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** <math>h(\Delta)=2</math> 이 되는 첫번째 예
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-20</math><br>
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** <math>x^2+5y^2</math>, <math>2x^2+2xy+3y^2</math>
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-23</math><br>
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** <math>x^2+xy+6y^2</math>, <math>2x^2-xy+3y^2</math>, <math>2x^2+xy+3y^2</math>
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** <math>h(\Delta)=3</math> 이 되는 첫번째 예
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-40</math><br>
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** <math>x^2+10y^2</math>, <math>2x^2+5y^2</math>
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-163</math><br>
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** <math>x^2+xy+41y^2</math>
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** <math>h(\Delta)=1</math> 이 되는 가장 큰 예
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** [[오일러의 소수생성다항식 x\.b2+x+41|오일러의 소수생성다항식 x\.b2 +x+41]] , [[숫자 163]] 참조
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* <math>\Delta=b^2-4ac=-240</math><br>
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** <math>x^2+58y^2</math>, <math>2x^2+29y^2</math>
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** 58에 대해서는 [[오일러의 convenient number ( Idoneal number)]] 항목 참조
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* 더 자세한 목록은 [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록|판별식이 작은 경우의 이차형식 리스트]] 항목 참조
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==가우스의 class number one 문제==
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*  기본판별식(fundamental discriminant)<br>
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** <math>\Delta=\Delta_0f^2</math> 의 형태로 쓸 수 없는 <math>\Delta</math> (<math>\Delta_0</math>는 적당한 판별식, <math>f</math>는 1보다 큰 정수)
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** [[이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론|이차 수체(quadratic number fields)]] 로부터 얻어지는 판별식임
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*  가우스의 문제<br>
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** 기본판별식 <math>\Delta<0</math> 에 대하여 <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163</math>
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*  일반적으로는 다음과 같음<br>
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** <math>h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163</math>
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* [[가우스의 class number one 문제]] 항목에서 자세히 다룸
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==genus==
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*  판별식이 <math>\Delta</math>인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 <math>(\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}</math>의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다<br>
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==이차형식과 이차 수체의 ideal 사이의 대응==
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*  이차형식과 이차 수체의 ideal을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음<br>
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** 이차형식의 합성이란 <math>(x_ 1^2+y_ 1^2)(x_ 2^2+y_ 2^2)=(x_ 1x_ 2-y_ 1y_ 2)^2+(x_ 1y_ 2-x_ 2y_ 1)^2</math>와 같은 공식의 일반화
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* <math>ax^2+bxy+cy^2</math>가 양의정부호 즉 <math>a>0</math>, <math>\Delta=b^2-4ac<0</math> 를 만족할 때, 대응되는 ideal은  <math>[2a, -b+\sqrt\Delta]</math>로 주어짐<br>
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==memo==
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* http://swc.math.arizona.edu/aws/09/index.html<br>
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==역사==
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>
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==많이 나오는 질문과 답변==
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*  네이버 지식인<br>
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** [http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=% EC %9 D % B4 % EC % B0 % A8 % ED %98 %95 % EC %8 B %9 D http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=이차형식]
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** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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==참고자료==
 
==참고자료==
 
   
 
   

2012년 9월 8일 (토) 20:02 판

이 항목의 스프링노트 원문주소



개요



기본용어

  • 판별식
    \(\Delta=b^2-4ac\)
  • 이차형식의 동치류
    • 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
      \(x \to x+y\) , \(y \to y\)
      \(x \to x\), \(y \to x+y\)
      행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 모듈라 군(modular group)을 생성함
      \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
    • 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(ad-bc= 1\) 가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함
  • primitive 이차형식
    \(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)



중요한 문제들

  • 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
    • 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
  • 주어진 판별식\(\Delta\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
    • \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
    • 주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다
    • 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 \(h(\Delta)\)를 \(\Delta\)에 대한 class number 라 함
    • genus의 개념



기약형식

  • 주어진 이차형식이 있을때,
  • 모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다
    \(R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\)
    + 경계조건
  • 기약 형식
    • 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
      \(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)
  • \(ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)\), \(\mbox{Im}\, \tau >0\) 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다
    \(|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\)
    \(a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\)
    fundamental domain의 경계조건은 \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\) 로 옮겨짐


(정리)

\(\tau\) (\(\mbox{Im}\, \tau >0\)) 에 대응되는 이차형식은 \(x=aX+bY, y=cX+dY\) (여기서 \(a,b,c,d\)는 정수이고 \(ad-bc= 1\))에 의해 \(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\) 에 대응되는 이차형식으로 변환된다.



판별식이 작은 경우의 기약형식 예


가우스의 class number one 문제

  • 기본판별식(fundamental discriminant)
    • \(\Delta=\Delta_0f^2\) 의 형태로 쓸 수 없는 \(\Delta\) (\(\Delta_0\)는 적당한 판별식, \(f\)는 1보다 큰 정수)
    • 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
  • 가우스의 문제
    • 기본판별식 \(\Delta<0\) 에 대하여 \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\)
  • 일반적으로는 다음과 같음
    • \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163\)
  • 가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸



genus

  • 판별식이 \(\Delta\)인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 \((\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}\)의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다



이차형식과 이차 수체의 ideal 사이의 대응

  • 이차형식과 이차 수체의 ideal을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음
    • 이차형식의 합성이란 \((x_ 1^2+y_ 1^2)(x_ 2^2+y_ 2^2)=(x_ 1x_ 2-y_ 1y_ 2)^2+(x_ 1y_ 2-x_ 2y_ 1)^2\)와 같은 공식의 일반화
  • \(ax^2+bxy+cy^2\)가 양의정부호 즉 \(a>0\), \(\Delta=b^2-4ac<0\) 를 만족할 때, 대응되는 ideal은 \([2a, -b+\sqrt\Delta]\)로 주어짐



memo



역사



많이 나오는 질문과 답변



참고자료

사전형태의 참고자료



관련된 항목들


수학용어번역



관련논문과 에세이
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