"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이

2014년 1월 9일 (목) 03:19 판

개요

정수 $a,b,c$에 대하여 $ax^2+bxy+cy^2$ 형태의 다항식을 정수계수 이변수 이차형식이라 함
자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작
- 이차형식 $x^2+y^2$에 대한 연구
- 페르마의 두 제곱의 합에 대한 정리 항목 참조
이차 수체를 공부하는 것과 밀접하게 연관
- 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론 항목 참조
- 양의 정부호인 이차형식을 공부하는 것은 복소이차수체와 연관
- 펠 방정식(Pell's equation) $x^2-dy^2=1, d\in \mathbb{N}$은 실이차수체와 연관
대수적수론과 정수 계수 위에 정의된 격자 이론 등으로 발전
이차형식은 수학의 중요한 연구 주제

기본용어

판별식\[\Delta=b^2-4ac\]
primitive 이차형식은 $a,b,c$ 가 서로소인 이차형식 $ax^2+bxy+cy^2$으로 정의됨

정수계수 이변수 이차형식의 동치류

다음 두 변환에 의해 같아지는 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의

\[x \to x+y, y \to y\] \[x \to x, y \to x+y\]

이러한 변환을 행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며, 이는 모듈라 군(modular group)을 생성함

\[T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , R=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \] $$ S=\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) $$로 두면, $S=T^{-1}RT^{-1}$

즉 $f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)$ 인 정수 $ad-bc= 1$ 가 존재하면, $f\sim g$ 이라 함

중요한 문제들

정수의 이차형식 표현
- 예) $x^2+ny^2$ 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
- 예) $x^2+ny^2$ 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가? 예로 이차형식 x^2+27y^2 항목 참조
주어진 판별식$\Delta<0$ 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
- $\Delta=b^2-4ac$를 만족시키는 모든 $ax^2+bxy+cy^2$ 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
- 주어진 판별식을 가지는 이차형식의 동치류는 유한 개 있다
- 판별식이 $\Delta$인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 $h(\Delta)$를 $\Delta$에 대한 유수 라 함
- genus의 개념

기약 형식과 fundamental domain

주어진 이차형식이 있을때,
모듈라 군의 작용에 의한 복소상반평면의 fundamental domain은 다음과 같다\[R = \left\{ \tau \in \mathbb{H}: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\] + 경계조건
기약 형식
- 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
- $|b|\leq a \leq c$ and $b \geq 0$ if either $|b|=a $ or $a=c$
$ax^2+bxy+cy^2=a(x-\tau y)(x-\bar{\tau} y)$, $\mbox{Im}\, \tau >0$ 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다\[|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\]\[a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\] fundamental domain의 경계조건은 $b \geq 0$ if either $|b|=a $ or $a=c$ 로 옮겨짐

(정리)

$\tau$ ($\mbox{Im}\, \tau >0$) 에 대응되는 이차형식은 $x=aX+bY, y=cX+dY$ (여기서 $a,b,c,d$는 정수이고 $ad-bc= 1$)에 의해 $\frac{a\tau+b}{c\tau+d}$ 에 대응되는 이차형식으로 변환된다.

판별식이 작은 경우의 기약형식 예

자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조
$\Delta=b^2-4ac=-3$
- $x^2+xy+y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-4$
- $x^2+y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-8$
- $x^2+2y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-15$
- $x^2+xy+4y^2$, $2x^2+xy+2y^2$
- $h(\Delta)=2$ 이 되는 첫번째 예
- 다항식 x³-x+1 참조
$\Delta=b^2-4ac=-20$
- $x^2+5y^2$, $2x^2+2xy+3y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-23$
- $x^2+xy+6y^2$, $2x^2-xy+3y^2$, $2x^2+xy+3y^2$
- $h(\Delta)=3$ 이 되는 첫번째 예
$\Delta=b^2-4ac=-40$
- $x^2+10y^2$, $2x^2+5y^2$
$\Delta=b^2-4ac=-163$
- $x^2+xy+41y^2$
- $h(\Delta)=1$ 이 되는 가장 큰 예
- 오일러의 소수생성다항식 x²+x+41 , 숫자 163 참조
$\Delta=b^2-4ac=-240$
- $x^2+58y^2$, $2x^2+29y^2$
- 58에 대해서는 오일러의 convenient number ( Idoneal number) 항목 참조
더 자세한 목록은 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 항목 참조

가우스의 class number one 문제

기본판별식(fundamental discriminant)
- $\Delta=\Delta_0f^2$ 의 형태로 쓸 수 없는 $\Delta$ ($\Delta_0$는 적당한 판별식, $f$는 1보다 큰 정수)
- 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
가우스의 문제
- 기본판별식 $\Delta<0$ 에 대하여 $h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163$
일반적으로는 다음과 같음
- $h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163$
가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸

genus

판별식이 $\Delta$인 두 primitive 양의정부호 이차형식가 $(\mathbb{Z}/\Delta\mathbb{Z})^{*}$의 같은 수를 표현하면 같은 genus에 있다고 부른다
http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/09ConwayNotesPrelim.pdf
On the Development of the Genus of Quadratic Forms
- Günther Frei, Ann. Sci. Math. Québec 3 (1979), no 1, 5-62
The Origins of the Genus Concept in Quadratic Forms
- Mark Beintema & Azar Khosravani, The Montana Mathematics Enthusiast
The development of the principal genus theorem
- Franz Lemmermeyer, ArXiv, 16 Jul 2002
On euler's partition of forms into generaA.A. Antropov

이차형식과 이차 수체의 ideal 사이의 대응

이차형식과 이차 수체의 ideal을 대응시킴으로서, 주어진 판별식을 갖는 이차형식의 합성을 정의할 수 있음
- 이차형식의 합성이란 $(x_ 1^2+y_ 1^2)(x_ 2^2+y_ 2^2)=(x_ 1x_ 2-y_ 1y_ 2)^2+(x_ 1y_ 2-x_ 2y_ 1)^2$와 같은 공식의 일반화
$ax^2+bxy+cy^2$가 양의정부호 즉 $a>0$, $\Delta=b^2-4ac<0$ 를 만족할 때, 대응되는 ideal은 $[2a, -b+\sqrt\Delta]$로 주어짐

메모

http://swc.math.arizona.edu/aws/09/index.html
Lemmermeyer, Franz. "Binary Quadratic Forms." (2010). http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/bf.pdf

역사

수학사 연표

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 ==메모==
 * http://swc.math.arizona.edu/aws/09/index.html
+* Lemmermeyer, Franz. "Binary Quadratic Forms." (2010). http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hb3/publ/bf.pdf