정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)

수학노트
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개요

  • 정수계수 다항식 $f(x)$가 주어져 있을 때, 소수 $p$에 대하여 $f(x) \pmod p$ 를 생각한다.
  • 이 때, 어느 소수 $p$에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 $p$가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
  • 이러한 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 기본이 되는 질문들



'상호법칙'이란

  • 이차잉여의 상호법칙 에서 가져옴
  • 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
  • 인수분해되는 방식에 따라서 소수 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
  • \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 소수 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
    • \(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해됨
    • \(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f (x) \pmod p\) 는 분해되지 않음



이차잉여의 상호법칙

  • 정수 계수 이차 다항식 \(x^2-a\) 의 문제
  • \(x^2-a\pmod p\) 가 \(p\) 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
  • 자세한 사항은 이차잉여의 상호법칙 에서 다루기로 함.
  • 이차수체



원분다항식의 상호법칙

  • 상호법칙의 질문에 따라 원분다항식(cyclotomic polynomial)의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
  • 원분다항식 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떤 소수 \(p\) 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
정리

\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 $r$이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자. 그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 $r$인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\)의 분해는, \(p\pmod n\)에 의해 결정된다.


증명

원분다항식을 기약다항식으로 분해하여 \(\Phi_n(x)=f_ 1f_ 2\cdots f_l \pmod p\) 를 얻고, \(f_ 1\)의 차수가 $s$라고 하자.

\(\mathbb{F}_p\)의 적당한 체확장에서 기약다항식 \(f_ 1\)의 근 \(\alpha\) 를 찾자. 그러면, \(\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}\) 을 얻는다.

\(f_ 1(\alpha)=0\) 이므로, \(\Phi_n(\alpha)=0\)이고, 따라서 \(\alpha^n=1\) 이다.

유한체 \(\mathbb F_{p^s}\) 는 방정식 \(x^{p^s}-x=x(x^{p^s-1}-1)\) 의 근으로 구성되므로, \(n|{p^s-1}\) 을 얻는다. 따라서 $p^s=1\pmod n$이고, \(s\geq r\)을 얻는다.

이제 \(s\leq r\) 임을 보이자. $r$의 정의로부터, \(n | p^r-1\) 임을 안다.

$\alpha^n=1$이므로, \(\alpha^{p^r-1}=1\) 즉 \(\alpha^{p^r}=\alpha\) 가 된다. 이는 \(\alpha\in \mathbb F_{p^r}\) 임을 의미한다.

\(\mathbb F_p[x]/(f_ 1)\simeq \mathbb F_p (\alpha)\simeq \mathbb F_{p^s}\) 이므로, \(s\leq r\) 이다.

따라서 \(r=s\) 임이 증명된다. ■


따름정리

\(n | (p-1)\) \(\iff\) \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다

증명

위의 정리에서 \(r=1\)인 경우에 해당한다. ■


다른 예

  • $x^3-x+1 \pmod p$ 가 일차식으로 분해 $\iff$ $x^2+27y^2=p$ 의 정수해가 존재
  • 다항식 x^3-x+1 항목 참조
  • $x^3-2 \pmod p$가 일차식으로 분해될 조건은 \(x^2+27y^2=p\)의 정수해와 관련
  • 이차형식 x^2+27y^2 항목 참조



디리클레 정리와 원분다항식의 상호법칙

  • \(n | (p-1)\) 이면, \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 \(\text{Frob}_p\) 가 체확장 \(\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)\)의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.
  • 프로베니우스의 밀도 정리에 의하면, \(\text{Frob}_p\)가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 \(p\equiv 1 \pmod n\) 가 증명된다.
  • 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리 항목도 참조.



프로베니우스의 밀도 정리



체보타레프 밀도 정리

  • 일반적인 수체



원분체의 arithmetic

  • Kronecker-Weber theorem and Ray class field
  • 이차잉여의 상호법칙
  • 디리클레 정리
  • 가우스 합


메모



관련된 항목들


사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트