"정수에서의 리만제타함수의 값"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">증명</h5>
 
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<math>\zeta(4)</math>
  
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}</math><math>\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz</math>
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<math>\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz</math>
  
 
<math>C_{R}</math>는 원점을 중심으로 반지금이<math>R</math> 인 원
 
<math>C_{R}</math>는 원점을 중심으로 반지금이<math>R</math> 인 원
  
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<math>R</math>이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.
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이때 <math>R</math>이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.
  
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0이 아닌 정수 <math>k</math>에 대하여 <math>z\approx k</math> 이면,  <math>\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}</math>
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유수정리를 사용하자. 
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0이 아닌 정수 <math>k</math>에 대하여 <math>z\approx k</math> 이면,  <math>\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}</math> 
  
 
한편<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}</math>의 0이 아닌 정수 <math>k</math>에서의 유수(residue)는  <math>\frac{1}{k^{4}}</math>로 주어진다. 
 
한편<math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}</math>의 0이 아닌 정수 <math>k</math>에서의 유수(residue)는  <math>\frac{1}{k^{4}}</math>로 주어진다. 
  
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<math>\cot x  =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>
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<math>\cot x  =  \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}</math>([[코탄젠트]] 참조)
  
 
를 이용하면 0 에서의 유수는 <math>-\pi^{4}/45</math> 임을 알 수 있다.
 
를 이용하면 0 에서의 유수는 <math>-\pi^{4}/45</math> 임을 알 수 있다.
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그러므로 <math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}</math><br>
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그러므로 <math>-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0</math><br>따라서 <math>\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math>
  
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The sum of the residues yields precisely twice the desired summation plus the residue at zero.
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Because the integral approaches zero, the sum of all the residues must be zero.
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일반적인 자연수 <math>n</math> 에 대하여도 마찬가지 방법으로
  
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The summation must therefore equal minus one half times the residue at zero.
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<math>2\zeta(2n)+\frac{(-1)^n 2^{2n}B_{2n}\pi^{2n}}{(2n)!}=0</math>
  
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* [[코탄젠트]]<br>[[코탄젠트|]][[코탄젠트|]]<br>
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즉 
  
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the residue at zero is <math>-\pi^{4}/45</math> which yields the desired result.
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2009년 7월 11일 (토) 15:51 판

간단한 소개
  • 홀수인 자연수를 제외한 모든 정수에 대하여 리만제타함수의 값은 닫힌 형태로 알려져 있음.
    \(\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\)여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수. 
    \(\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}, n \ge 1\)
    \(\zeta(0)=-\frac{1}{2}\)

 

 

증명

\(\zeta(4)\)

\(\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}dz\)

\(C_{R}\)는 원점을 중심으로 반지금이\(R\) 인 원

이때 \(R\)이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자. 

0이 아닌 정수 \(k\)에 대하여 \(z\approx k\) 이면,  \(\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}\) 

한편\(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}}\)의 0이 아닌 정수 \(k\)에서의 유수(residue)는  \(\frac{1}{k^{4}}\)로 주어진다. 

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)(코탄젠트 참조)

를 이용하면 0 에서의 유수는 \(-\pi^{4}/45\) 임을 알 수 있다.

 

그러므로 \(-\frac{\pi^4}{45}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}}=0\)
따라서 \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\)

 

일반적인 자연수 \(n\) 에 대하여도 마찬가지 방법으로

\(2\zeta(2n)+\frac{(-1)^n 2^{2n}B_{2n}\pi^{2n}}{(2n)!}=0\)

즉 


 

 

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