정오각형

수학노트
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개요

  • 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형
  • 정다각형의 하나
  • 정오각형의 대각선의 길이와 황금비의 관계
  • 정다면체 중 하나인 정십이면체는 정오각형으로 만들어져 있다.



정오각형의 대각선과 황금비

  • '황금비' 항목 참조
  • 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

\[{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\] 3002548-pentagon(1).png


(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해,

AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다. \[b^2 - ab - a^2 = 0\] \[(\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\] ■



황금삼각형

3002548-317px-Golden triangle in pentagon.svg.png


  • 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨.



정오각형 꼭지점의 평면좌표

  • 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
  • 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
  • 양변을 \(z^2\)으로 나누면, \(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\) 을 얻게됨.

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음. \[z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0\]

방정식 \(y^2+y-1=0\)을 풀면, \[y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\] 이제 \(z^2-yz+1=0\)로부터 다음을 얻는다 \[z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\] 따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

  • 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.



정오각형의 작도



정오각형과 정다면체

  • 정십이면체의 면은 정오각형으로 구성
  • 정다면체



재미있는 사실

정오각형(사과).JPG


관련된 항목들



관련된 고교수학 또는 대학수학


사전형태의 자료



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