"제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
  
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* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|일종타원적분 K]]<br>
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*  제1종 완전타원적분
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:<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math>
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* [[타원곡선의 주기]]이다
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* <math>k</math>가 타원적분의 singular value 일때([[타원적분의 singular value k]]), 일종타원적분의 값을 구하는 문제
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** 19세기부터 많이 연구된 타원 함수 이론의 고전적인 문제이며, [[complex multiplication]] 이론, 타원곡선의 [[periods]] 의 틀에서 이해할 수 있음
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** <math>K(k)</math>의 값을 감마함수의 값의 곱으로 표현
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** 아래에 몇가지 예가 제시
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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==란덴변환==
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*  일종완전타원적분<br><math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math><br>
 
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* <math>k</math>가 타원적분의 singular value 일때([[타원적분의 singular value k]]), 일종타원적분의 값을 구하는 문제<br>
 
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**  19세기부터 많이 연구되어 있으며 [[complex multiplication]] 이론, 타원곡선의 [[periods]] 의 틀에서 이해할 수 있음<br>
 
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**  아래에 몇가지 예가 제시<br>
 
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* [[타원곡선의 주기]] 를 표현할 수 있다<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">란덴변환</h5>
 
  
 
* 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
 
* 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.
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:<math>K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)</math>
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* <math>k'=\sqrt{1-k^2}</math>라 두면
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:<math>2K(\frac{1-k'}{1+k'})=(1+k')K(k)</math>
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* [[란덴변환(Landen's transformation)]] 항목 참조
  
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<math>K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)</math>
 
  
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<math>k'=\sqrt{1-k^2}</math>라 두면
 
  
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<math>2K(\frac{1-k'}{1+k'})=(1+k')K(k)</math>
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==초기하함수를 이용한 표현==
  
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* [[란덴변환(Landen's transformation)]] 항목 참조<br>
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* [[오일러-가우스 초기하함수2F1]]를 이용한 표현
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:<math>K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math>
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:<math>K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math>
  
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(증명)
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">초기하 미분방정식</h5>
 
  
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* [[오일러-가우스 초기하함수2F1|오일러-가우스 초기하함수]]를 이용한 표현<br><math>K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math><br>
+
:<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta}  </math>
  
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:<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}</math> 이므로 ([[오일러 베타적분(베타함수)]] 항목 참조)
  
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:<math>K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)</math>■
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">맴돌이</h5>
 
  
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* <math>z=k^2</math>로 두고, <math>w(z)=\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)</math> 라 하자<br><math>K(k)=w(z)=w(k^2)</math><br><math>K(k')=w(1-z)=w(1-k^2)</math><br>
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===맴돌이군===
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* <math>w(z)</math>는 다음 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]을 만족시킨다<br><math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(1-2z)\frac{dw}{dz}-\frac{1}{4}w = 0</math><br>
+
* <math>z=k^2</math>로 두고, <math>w(z)=\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)</math> 라 하자:<math>K(k)=w(z)=w(k^2)</math>:<math>K(k')=w(1-z)=w(1-k^2)</math>
−
* <math>w_1(z)=w(z)</math>와 <math>w_2=w(1-z)</math>는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다<br>
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* <math>w(z)</math>는 다음 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]을 만족시킨다:<math>z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(1-2z)\frac{dw}{dz}-\frac{1}{4}w = 0</math>
−
*  미분방정식의 특이점을 분석하면,  <br><math>w_1(z)</math>와 <math>w_2(z)+\frac{1}{\pi}w_1(z)\log z</math> 는 <math>z=0</math>에서 해석함수이고,<br><math>w_1(1-z)=w_2(z)</math>와 <math>w_2(1-z)+\frac{1}{\pi}w_1(1-z)\log (1-z)=w_1(z)+\frac{1}{\pi}w_2(z)\log (1-z)</math> 는 <math>z=1</math>에서 해석함수임을 알수있다<br>
+
* <math>w_1(z)=w(z)</math>와 <math>w_2=w(1-z)</math>는 이 미분방정식의 선형독립인 두 해이다
−
*  미분방정식의 모노드로미 <br> 미분방정식의 해의기저 <math>\{w_1,iw_2\}</math>에 대하여 다음과 같은 모노드로미 표현을 얻을 수 있다<br><math>z=0</math> 주변의 루프는 <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math><br><math>z=1</math> 주변의 루프는<math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}</math><br> 따라서 미분방정식의 모노드로미군은 <math>\Gamma(2)</math>가 된다<br>
+
* [[맴돌이군과 미분방정식]] 항목 참조
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* [[맴돌이군과 미분방정식]] 항목 참조<br>
 
  
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==singular values==
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">singular values</h5>
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*  자연수 <math>n </math> 에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>k</math>를 타원적분의 singular value 라 한다
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:<math>\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n </math>
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*  자연수 <math>n </math> 에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>k</math>를 타원적분의 singular value 라 한다<br><math>\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n </math><br>
 
 
* [[타원적분의 singular value k|타원적분 singular value k]] 항목 참조
 
* [[타원적분의 singular value k|타원적분 singular value k]] 항목 참조
−
*  예<br><math>\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1</math><br><math>\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}</math><br><math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}</math><br><math>\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}}\right)= \sqrt{4}</math><br>
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*  예:<math>\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1</math>:<math>\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}</math>:<math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}</math>:<math>\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}\right)= \sqrt{4}</math>
  
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==special values==
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===예===
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">special values of <math>K(k)</math></h5>
 
  
 
<math>K(0) = \frac{\pi}{2}</math>
 
<math>K(0) = \frac{\pi}{2}</math>
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<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math>
 
<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math>
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<math>K(2\sqrt{2}-2)</math>
 
  
 
<math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math>
 
<math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math>
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<math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math>
 
<math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math>
  
−
<math>K\left(3-2\sqrt{2}}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots</math>
+
<math>K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots</math>
  
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*  더 자세한 목록은 '''[Zucker77]''' 또는 '''[Borwein98] 참조'''<br>
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*  더 자세한 목록은 '''[Zucker77]''' 또는 '''[Borwein98] 참조'''
  
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===<math>\sqrt{-1}</math>===
 +
; 정리
 +
:<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots \label{ellk1}</math>
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* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분]] 항목 참조
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">special value의 계산</h5>
 
  
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<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math>
 
  
−
* [[렘니스케이트(lemniscate) 곡선의 길이와 타원적분|렘니스케이트(lemniscate) 곡선과 타원적분]] 항목 참조
+
===<math>\sqrt{-2}</math>===
−
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5BEllipticK%5B1/2%5D%5D http://www.wolframalpha.com/input/?i=N[EllipticK[1/2]]]
+
; 정리
−
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5BPi%5E%7B-1/2%7D+Gamma%5B1/4%5D%5E2/4%5D http://www.wolframalpha.com/input/?i=N[Pi^{-1/2}+Gamma[1/4]^2/4]]
+
:<math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math>
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----
 
  
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<math>K(2\sqrt{2}-2)</math>
 
  
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(증명)
 
  
−
<math>K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)</math>
+
===<math>\sqrt{-3}</math>===
 +
; 정리
 +
:<math>K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt{\pi}}=2.768063\cdots</math>
  
−
 
 
  
−
 
+
;증명
−
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+
<math>\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>, <math>\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 이므로 [[타원곡선의 주기]]에서 얻은 결과를 활용하면, 다음을 얻는다
 +
:<math>K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u  + 1)}}</math>
 +
여기서 <math>v=\sqrt{3}u-1</math> 으로 치환하면, <math>u(u^2 - \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(1 + v^3)</math>
 +
따라서
 +
:<math>
 +
\begin{aligned}
 +
\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u  + 1)}}&=\sqrt[4]{3}\int_{-1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}=\sqrt[4]{3}(\int_{-1}^{0} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}) \\
 +
&=\sqrt[4]{3}(\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}}) \\
 +
&=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt{\pi}}=5.536129
 +
\cdots
 +
\end{aligned}
 +
</math>
 +
마지막에서 다음을 이용하였음. (이에 대한 증명은 [[오일러 베타적분(베타함수)]] 항목 참조)
 +
:<math>\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{6\sqrt{\pi}}</math>
 +
:<math>\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}}=\frac{ \Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{3\sqrt{\pi }}</math> ■
  
−
<math>K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}</math>
+
;정리
 +
:<math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math>
 +
;증명1
 +
다음 사실을 이용
 +
:<math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}</math> ■
  
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(증명)
 
  
−
 
+
;증명2
 +
<math>\cos \frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>, <math>\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 이므로 [[타원곡선의 주기]]의 결과를 활용하면 다음을 얻는다
 +
:<math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 + \sqrt{3}u + 1)}}</math>
 +
여기서 <math>v=\sqrt{3}u+1</math> 으로 치환하면, <math>u(u^2 + \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(v^3-1)</math>
 +
따라서
 +
:<math>\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2+ \sqrt{3}u + 1)}}=\sqrt[4]{3}\int_{1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3-1}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=3.1962840\cdots</math> ■
  
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−
 
+
===<math>\sqrt{-4}</math>===
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+
;정리
 +
:<math>K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots</math>
  
−
<math>K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt{\pi}}=2.768063\cdots</math>
+
;증명
 +
[[란덴변환(Landen's transformation)]]
 +
:<math>K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)</math>
 +
을 이용하자. 여기서 <math>k=3-2\sqrt{2}</math>라 두면, 다음을 얻는다
 +
:<math>\frac{2\sqrt{k}}{1+k}=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
 +
따라서 다음이 성립한다
 +
:<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=(4-2\sqrt{2})K(3-2\sqrt{2})</math>
 +
\ref{ellk1}로부터 다음을 얻는다
 +
:<math>K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots</math> ■
  
−
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5BEllipticK%5B%28Cos%5BPi/F12%5D%29%5E2%5D%5D http://www.wolframalpha.com/input/?i=N[EllipticK[(Cos[Pi/F12])^2]]]
 
−
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=N%5B%28Power%5B3%2C+%284%29%5E-1%5D+Gamma%5B1%2F3%5D+Gamma%5B1%2F6%5D%29%2F%284+Sqrt%5B%5C%5BPi%5D%5D%29%5D http://www.wolframalpha.com/input/?i=N[(Power[3%2C+(4)^-1]+Gamma[1%2F3]+Gamma[1%2F6])%2F(4+Sqrt[\[Pi]])]]
 
  
−
 
+
===Chowla-셀베르그의 정리===
 +
;정리
 +
<math>k</math>에 대하여, 다음의 값 :<math>i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}</math> 이 <math>d_F</math>를 판별식으로 갖는 복소이차수체 <math>F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})</math>의 원소일 때, [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)|제1종타원적분 K]]에 대하여 다음이 성립한다
 +
:<math>{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}</math> 여기서 <math>\lambda</math>는 적당한 [[대수적수론|대수적수]].
 +
* [[Chowla-셀베르그 공식]] 항목 참조
  
−
(증명)
 
  
−
<math>\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>, <math>\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 이므로 위에서 얻은 결과를 활용하면,
+
==메모==
 +
* http://mathoverflow.net/questions/87551/can-elliptic-integral-singular-values-generate-cubic-polynomials-with-integer-co
 +
* <math>K(2\sqrt{2}-2)</math>
  
−
<math>K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u  + 1)}}</math>
 
  
−
여기서 <math>v=\sqrt{3}u-1</math> 으로 치환하면, <math>u(u^2 - \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(1 + v^3)</math>
+
==역사==
  
−
<math>\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u  + 1)}}=\sqrt[4]{3}\int_{-1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}=\sqrt[4]{3}(\int_{-1}^{0} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}})</math>
+
* [[수학사 연표]]
  
−
<math>=\sqrt[4]{3}(\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}})=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt{\pi}}=5.536129\cdots</math>
+
  
−
마지막에서 다음을 이용하였음. (이에 대한 증명은 [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]] 항목 참조)
 
  
−
<math>\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{6\sqrt{\pi}}</math>
 
  
−
<math>\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}}=\frac{ \Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{3\sqrt{\pi }}</math> ■
+
==관련된 항목들==
−
----
 
  
−
<math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots</math>
+
* [[Chowla-셀베르그 공식]]
 +
* [[단진자의 주기와 타원적분]]
 +
* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]]
 +
* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]
 +
* [[란덴변환(Landen's transformation)]]
  
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(증명)
 
  
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* <math>\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}</math> 을 이용할 수도 있고, 다음과 같이 직접 증명도 가능  *
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbkozeFVSbVBmX0k/edit
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<math>\cos \frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>, <math>\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> 이므로 위에서 얻은 결과를 활용하면,
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* http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValue.html
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* http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValuek1.html
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<math>K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 + \sqrt{3}u + 1)}}</math>
+
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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−
여기서 <math>v=\sqrt{3}u+1</math> 으로 치환하면, <math>u(u^2 + \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(v^3-1)</math>
 
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<math>\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2+ \sqrt{3}u + 1)}}=\sqrt[4]{3}\int_{1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3-1}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=3.1962840\cdots</math>
 
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<math>K\left(3-2\sqrt{2}}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots</math>
 
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(증명)
 
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[[란덴변환(Landen's transformation)|란덴변환]]을 이용
 
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 <math>K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)</math>
 
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<math>k=3-2\sqrt{2}</math>라 하면, 
 
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<math>\frac{2\sqrt{k}}{1+k}=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
 
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이로부터 
 
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<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=(4-2\sqrt{2})K(3-2\sqrt{2})</math>
 
  
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<math>K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots</math> 로부터 
 
  
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<math>K\left(3-2\sqrt{2}}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots</math>
 
  
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==사전 형태의 자료==
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/타원적분
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
 
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* [[단진자의 주기와 타원적분]]<br>
 
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
 
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* [[Chowla-셀베르그 공식]]<br>
 
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* [[단진자의 주기와 타원적분]]<br>
 
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* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]]<br>
 
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* [[오일러 베타적분(베타함수)|오일러 베타적분]]<br>
 
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* [[란덴변환(Landen's transformation)]]<br>
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
 
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%83%80%EC%9B%90%EC%A0%81%EB%B6%84 http://ko.wikipedia.org/wiki/타원적분]
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValue.html
 
−
* http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegralSingularValuek1.html
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
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==관련논문==
  
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* '''[Zucker77]'''[http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-abs_connect?fforward=http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100053731 The evaluation in terms of Γ-functions of the periods of elliptic curves admitting complex multiplication]<br>
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* '''[Zucker77]'''[http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-abs_connect?fforward=http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100053731 The evaluation in terms of Γ-functions of the periods of elliptic curves admitting complex multiplication]
−
** Zucker, I. J. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, (1977), vol 82 : 111-118
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** Zucker, I. J. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, (1977), vol 82 : 111-118
−
* [http://www.jstor.org/stable/2005214 A Closed Form Evaluation of the Elliptic Integral]<br>
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* [http://www.jstor.org/stable/2005214 A Closed Form Evaluation of the Elliptic Integral]
 
** M. L. Glasser and V. E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 25, No. 115 (Jul., 1971), pp. 535-536
 
** M. L. Glasser and V. E. Wood, Mathematics of Computation, Vol. 25, No. 115 (Jul., 1971), pp. 535-536
−
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function]<br>
+
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function]
−
** S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
+
** S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
−
* [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)]<br>
+
* [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)]
 
** S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
 
** S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://dx.doi.org/
 
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>
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==관련도서==
  
−
* '''[Borwein98]'''[http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
+
* '''[Borwein98]'''[http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]
−
** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein,  Wiley-Interscience (July 13, 1998)
+
** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Wiley-Interscience (July 13, 1998)
−
** 26-28p, 51p, 67p, 139p, 298p
+
** 26-28p, 51p, 67p, 139p, 298p
  
−
*  도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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==블로그==
  
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* [http://sos440.springnote.com/pages/4400347 계산노트 #006]
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** sos440
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
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[[분류:타원적분]]
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[[분류:특수함수]]
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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* [http://sos440.springnote.com/pages/4400347 계산노트 #006]<br>
+
==메타데이터==
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** sos440
+
===위키데이터===
−
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q1126603 Q1126603]
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+
===Spacy 패턴 목록===
−
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
+
* [{'LOWER': 'elliptic'}, {'LEMMA': 'integral'}]
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 
−
* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]
 

2021년 2월 17일 (수) 05:59 기준 최신판

개요

  • 제1종 완전타원적분

\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\]

  • 타원곡선의 주기이다
  • \(k\)가 타원적분의 singular value 일때(타원적분의 singular value k), 일종타원적분의 값을 구하는 문제
    • 19세기부터 많이 연구된 타원 함수 이론의 고전적인 문제이며, complex multiplication 이론, 타원곡선의 periods 의 틀에서 이해할 수 있음
    • \(K(k)\)의 값을 감마함수의 값의 곱으로 표현
    • 아래에 몇가지 예가 제시


란덴변환

  • 다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.

\[K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)\]

  • \(k'=\sqrt{1-k^2}\)라 두면

\[2K(\frac{1-k'}{1+k'})=(1+k')K(k)\]


초기하함수를 이용한 표현

\[K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\] \[K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]

(증명)

\[K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta} \]

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\] 이므로 (오일러 베타적분(베타함수) 항목 참조)

\[K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\]■


맴돌이군



singular values

  • 자연수 \(n \) 에 대하여, 다음을 만족시키는 \(k\)를 타원적분의 singular value 라 한다

\[\frac{K'}{K}(k):=\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}= \sqrt n \]

  • 타원적분 singular value k 항목 참조
  • 예\[\frac{K'}{K}(\frac{1}{\sqrt{2}})= 1\]\[\frac{K'}{K}(\sqrt{2}-1)= \sqrt{2}\]\[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\]\[\frac{K'}{K}\left(3-2\sqrt{2}\right)= \sqrt{4}\]


special values

예

\(K(0) = \frac{\pi}{2}\)

\(K(1) = \infty\)

\(K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}B(1/4,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots\)

\(K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2^{13/4}}B(\frac{1}{8},\frac{3}{8})=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\)

\(K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt{\pi}}=2.768063\cdots\)

\(K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\)

\(K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots\)

  • 더 자세한 목록은 [Zucker77] 또는 [Borwein98] 참조


\(\sqrt{-1}\)

정리

\[K(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}}=1.8540746773\cdots \label{ellk1}\]


\(\sqrt{-2}\)

정리

\[K(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}\Gamma(\frac{1}{8})\Gamma(\frac{3}{8})}{2^{13/4}\sqrt{\pi}}\]


\(\sqrt{-3}\)

정리

\[K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt{\pi}}=2.768063\cdots\]


증명

\(\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\), \(\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) 이므로 타원곡선의 주기에서 얻은 결과를 활용하면, 다음을 얻는다 \[K\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u + 1)}}\] 여기서 \(v=\sqrt{3}u-1\) 으로 치환하면, \(u(u^2 - \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(1 + v^3)\) 따라서 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - \sqrt{3}u + 1)}}&=\sqrt[4]{3}\int_{-1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}=\sqrt[4]{3}(\int_{-1}^{0} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3+1}}) \\ &=\sqrt[4]{3}(\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}+\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}}) \\ &=\frac{\sqrt[4]{3}\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt{\pi}}=5.536129 \cdots \end{aligned} \] 마지막에서 다음을 이용하였음. (이에 대한 증명은 오일러 베타적분(베타함수) 항목 참조) \[\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{1-v^3}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{6\sqrt{\pi}}\] \[\int_{0}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{1+v^3}}=\frac{ \Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{3\sqrt{\pi }}\] ■

정리

\[K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{4\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=1.5981420\cdots\]

증명1

다음 사실을 이용 \[\frac{K'}{K}\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)= \sqrt{3}\] ■


증명2

\(\cos \frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\), \(\cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) 이므로 타원곡선의 주기의 결과를 활용하면 다음을 얻는다 \[K\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 + \sqrt{3}u + 1)}}\] 여기서 \(v=\sqrt{3}u+1\) 으로 치환하면, \(u(u^2 + \sqrt{3}u+ 1) = 3^{-3/2}(v^3-1)\) 따라서 \[\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2+ \sqrt{3}u + 1)}}=\sqrt[4]{3}\int_{1}^{\infty} \frac{dv}{\sqrt{v^3-1}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{3})\Gamma(\frac{1}{6})}{2\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}=3.1962840\cdots\] ■


\(\sqrt{-4}\)

정리

\[K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots\]

증명

란덴변환(Landen's transformation) \[K(\frac{2\sqrt{k}}{1+k})=(1+k)K(k)\] 을 이용하자. 여기서 \(k=3-2\sqrt{2}\)라 두면, 다음을 얻는다 \[\frac{2\sqrt{k}}{1+k}=\frac{1}{\sqrt{2}}\] 따라서 다음이 성립한다 \[K(\frac{1}{\sqrt{2}})=(4-2\sqrt{2})K(3-2\sqrt{2})\] \ref{ellk1}로부터 다음을 얻는다 \[K\left(3-2\sqrt{2}\right)=\frac{(2+\sqrt{2})\Gamma(\frac{1}{4})^2}{16\sqrt{\pi}}=1.58255\cdots\] ■


Chowla-셀베르그의 정리

정리

\(k\)에 대하여, 다음의 값 \[i\frac{K'}{K}(k):=i\frac{K(\sqrt{1-k^2})}{K(k)}\] 이 \(d_F\)를 판별식으로 갖는 복소이차수체 \(F=\mathbb{Q}(\sqrt{d_F})\)의 원소일 때, 제1종타원적분 K에 대하여 다음이 성립한다 \[{K}(k)=\lambda\sqrt{\pi}\left(\prod_{m=1}^{|d_F|}\Gamma(\frac{m}{|d_F|})^{\left(\frac{d_F}{m}\right)}\right)^{\frac{w_{F}}{4h_{F}}}\] 여기서 \(\lambda\)는 적당한 대수적수.


메모


역사



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련논문



관련도서

  • [Borwein98]Pi and the AGM
    • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Wiley-Interscience (July 13, 1998)
    • 26-28p, 51p, 67p, 139p, 298p


블로그

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'elliptic'}, {'LEMMA': 'integral'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=제1종타원적분_K_(complete_elliptic_integral_of_the_first_kind)&oldid=52467"