조화다항식(harmonic polynomial)

수학노트
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개요

\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]

  • \(\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta \)의 원소를 $d$차 조화다항식이라 한다
  • 차원

$$ \dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2} $$

  • 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 $n=3$인 경우

2차 조화다항식

\[\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\]


3차 조화다항식

\[\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\]


조화다항식과 구면조화함수

  • 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
  • 단위구면 (구면좌표계 참조) \(x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )\)
  • 다음을 얻는다

$$ -x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) $$

  • 이는 \(Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)\) 의 상수배이다

 

 

역사

 

 

 

메모

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Brackx, Fred, Hennie De Schepper, David Eelbode, Roman Lavicka, and Vladimir Soucek. ‘Fundaments of Quaternionic Clifford Analysis III: Fischer Decomposition in Symplectic Harmonic Analysis’. arXiv:1404.3625 [math], 14 April 2014. http://arxiv.org/abs/1404.3625.