하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 좌표 베테 가설 풀이(coordinate Bethe ansatz)

수학노트
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개요

<math>

H = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{L} (\sigma_j^x \sigma_{j+1}^x +\sigma_j^y \sigma_{j+1}^y + \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z+1)=\sum_{j=1}^{L-1}P_{i,i+1}+P_{L,1} </math> 이 때, :<math>P_{ij}=\frac{\vec{\sigma}_{i}\cdot\vec{\sigma}_{j}+1}{2}</math>는 치환연산자


베테의 가설

파동함수의 형태에 대한 가정

  • 베테 가설 풀이(Bethe ansatz)
  • 위(up; ↑) 스핀의 개수가 <math>n</math>인 벡터의 선형결합으로 쓰여진 해밀토니안의 고유벡터 <math>\Psi</math>를 찾으려 한다
  • 위(up; ↑) 스핀의 위치가 <math>x_ 1<x_ 2<\cdots<x_n</math>인 벡터를 <math>|x_1,x_ 2,\cdots,x_n \rangle</math>라 쓰면, <math>\Psi</math>는 적당한 계수 <math>a(x_1,\cdots,x_n)</math>를 이용하여 다음과 같이 표현된다
<math>

\Psi=\sum_{\scriptstyle{(x_1,\cdots,x_n)}\atop \scriptstyle{1\leq x_1<\cdots<x_n\leq L}} a(x_1,\cdots,x_n)|x_1,x_ 2,\cdots,x_n \rangle </math>

  • 베테의 가설 : <math>a(x_ 1,\cdots,x_n)</math>를 다음과 같이 쓸 수 있다
<math>a(x_ 1,\cdots,x_n)=\sum_{P\in S_n}A (P)\exp(i\sum_{j=1}^{n}x_jk_{P_j}),</math> 이 때 진폭 (amplitudes) <math>A(P)</math>는
<math>A(P)=(-1)^P\prod_{1\le i< j\le n}s_{P_{j}P_{i}},</math>

여기서 <math>(-1)^P</math>는 치환 <math>P\in S_n</math>의 부호이며, <math>s_{j,l}</math>는 산란항으로 다음과 같다

<math>s_{j,l}=1-2 e^{ik_l}+ e^{ik_l+ik_j}</math>
  • <math>A(312)</math>는 치환 <math>1\to3, 2\to1, 3\to2</math>에 대응
  • <math>n=2</math>이면, <math>A(12)=s_{21}</math>, <math>A(21)=-s_{12}</math>
  • <math>n=3</math>이면, <math>A(123)=s_{21}s_{31}s_{32}</math>, <math>A(312)=s_{13}s_{23}s_{21}</math>, <math>A(231)=s_{32}s_{12}s_{13}</math>

베테 안싸쯔 방정식

  • <math>a(x_1,\cdots,x_n)</math>가 만족시켜야 하는 경계조건
<math>

a(x_1,\cdots,x_n)=a(x_2,\cdots,x_n,x_1+L) </math> 으로부터 <math>a(x_ 1,\cdots,x_n)</math>의 정의에 사용된 파동수(wave number) <math>k_1,\cdots,k_n</math>가 만족시켜야 하는 조건을 얻는다

<math>

\exp(ik_jL)=(-1)^{n-1}\prod_{l=1, l\neq j}^{n}\frac{s_{l,j}}{s_{j,l}}=(-1)^{n-1}\prod_{l=1, l\neq j}^{n}\frac{1-2e^{ik_j}+e^{i(k_j+k_l)}}{1-2e^{ik_l}+e^{i(k_j+k_l)}}, \quad j=1,\cdots, n \label{bae0} </math>

  • \ref{bae0}을 다음과 같이 쓰기도 한다
<math>\begin{eqnarray}\label{bae} \left( {\lambda_{\alpha} - {i\over 2} \over \lambda_{\alpha} + {i\over 2}} \right)^{L} = \prod_{\scriptstyle{\beta=1}\atop \scriptstyle{\beta \ne \alpha}}^n {\lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i \over \lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} + i } \,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, n \,. \end{eqnarray}</math>

여기서

<math>

e^{i k_j}=\frac{\lambda_j-i/2}{\lambda_j+i/2} </math> 또는

<math>

\lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2} </math>

고유값

  • \ref{bae0}를 풀어 얻어진 <math>k_1,\cdots,k_n</math>를 이용하여, 해밀토니안의 고유벡터 <math>\Psi(k_1,\cdots,k_n)=\sum a(x_1,\cdots,x_n)|x_1,x_ 2,\cdots,x_n \rangle</math>를 얻을 수 있고, 이 때 고유값은 다음과 같다
<math>

E=L+\sum_{j=1}^{n}(2\cos k_j-2)=L-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\lambda_{i}^2+\frac{1}{4}} </math>


베테안싸쯔 방정식의 예

n=1

<math>\exp(ik_jL)=1</math>


n=2

<math>\exp(ik_1L)=-\frac{s_{2,1}}{s_{1,2}}=-\frac{1-2e^{ik_1}+ e^{ik_1+ik_2}}{1-2e^{ik_2}+ e^{ik_1+ik_2}}</math>

<math>\exp(ik_2L)=-\frac{s_{1,2}}{s_{2,1}}=-\frac{1-2e^{ik_2}+ e^{ik_1+ik_2}}{1-2e^{ik_1}+ e^{ik_1+ik_2}}</math>


n=3

<math>\exp(ik_1L)=\frac{s_{2,1}s_{3,1}}{s_{1,2}s_{1,3}}</math>

<math>\exp(ik_2L)=\frac{s_{1,2}s_{3,2}}{s_{2,1}s_{2,3}}</math>

<math>\exp(ik_3L)=\frac{s_{1,3}s_{2,3}}{s_{3,1}s_{3,2}}</math>


계산 리소스 및 매스매티카 파일


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