하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형의 좌표 베테 가설 풀이(coordinate Bethe ansatz)

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기

개요

\[ H = \frac{1}{2}\sum_{j=1}^{L} (\sigma_j^x \sigma_{j+1}^x +\sigma_j^y \sigma_{j+1}^y + \sigma_j^z \sigma_{j+1}^z+1)=\sum_{j=1}^{L-1}P_{i,i+1}+P_{L,1} \] 이 때, \[P_{ij}=\frac{\vec{\sigma}_{i}\cdot\vec{\sigma}_{j}+1}{2}\]는 치환연산자


베테의 가설

파동함수의 형태에 대한 가정

  • 베테 가설 풀이(Bethe ansatz)
  • 위(up; ↑) 스핀의 개수가 \(n\)인 벡터의 선형결합으로 쓰여진 해밀토니안의 고유벡터 \(\Psi\)를 찾으려 한다
  • 위(up; ↑) 스핀의 위치가 \(x_ 1<x_ 2<\cdots<x_n\)인 벡터를 \(|x_1,x_ 2,\cdots,x_n \rangle\)라 쓰면, \(\Psi\)는 적당한 계수 \(a(x_1,\cdots,x_n)\)를 이용하여 다음과 같이 표현된다

\[ \Psi=\sum_{\scriptstyle{(x_1,\cdots,x_n)}\atop \scriptstyle{1\leq x_1<\cdots<x_n\leq L}} a(x_1,\cdots,x_n)|x_1,x_ 2,\cdots,x_n \rangle \]

  • 베테의 가설 \[a(x_ 1,\cdots,x_n)\]를 다음과 같이 쓸 수 있다

\[a(x_ 1,\cdots,x_n)=\sum_{P\in S_n}A (P)\exp(i\sum_{j=1}^{n}x_jk_{P_j}),\] 이 때 진폭 (amplitudes) \(A(P)\)는 \[A(P)=(-1)^P\prod_{1\le i< j\le n}s_{P_{j}P_{i}},\] 여기서 \((-1)^P\)는 치환 \(P\in S_n\)의 부호이며, \(s_{j,l}\)는 산란항으로 다음과 같다 \[s_{j,l}=1-2 e^{ik_l}+ e^{ik_l+ik_j}\]

  • \(A(312)\)는 치환 \(1\to3, 2\to1, 3\to2\)에 대응
  • \(n=2\)이면, \(A(12)=s_{21}\), \(A(21)=-s_{12}\)
  • \(n=3\)이면, \(A(123)=s_{21}s_{31}s_{32}\), \(A(312)=s_{13}s_{23}s_{21}\), \(A(231)=s_{32}s_{12}s_{13}\)

베테 안싸쯔 방정식

  • \(a(x_1,\cdots,x_n)\)가 만족시켜야 하는 경계조건

\[ a(x_1,\cdots,x_n)=a(x_2,\cdots,x_n,x_1+L) \] 으로부터 \(a(x_ 1,\cdots,x_n)\)의 정의에 사용된 파동수(wave number) \(k_1,\cdots,k_n\)가 만족시켜야 하는 조건을 얻는다

\[ \exp(ik_jL)=(-1)^{n-1}\prod_{l=1, l\neq j}^{n}\frac{s_{l,j}}{s_{j,l}}=(-1)^{n-1}\prod_{l=1, l\neq j}^{n}\frac{1-2e^{ik_j}+e^{i(k_j+k_l)}}{1-2e^{ik_l}+e^{i(k_j+k_l)}}, \quad j=1,\cdots, n \label{bae0} \]

  • \ref{bae0}을 다음과 같이 쓰기도 한다

\[\begin{eqnarray}\label{bae} \left( {\lambda_{\alpha} - {i\over 2} \over \lambda_{\alpha} + {i\over 2}} \right)^{L} = \prod_{\scriptstyle{\beta=1}\atop \scriptstyle{\beta \ne \alpha}}^n {\lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} - i \over \lambda_{\alpha} - \lambda_{\beta} + i } \,, \qquad \alpha = 1 \,, \cdots \,, n \,. \end{eqnarray}\] 여기서 \[ e^{i k_j}=\frac{\lambda_j-i/2}{\lambda_j+i/2} \] 또는 \[ \lambda_j=\frac{1}{2}\cot \frac{k_j}{2} \]

고유값

  • \ref{bae0}를 풀어 얻어진 \(k_1,\cdots,k_n\)를 이용하여, 해밀토니안의 고유벡터 \(\Psi(k_1,\cdots,k_n)=\sum a(x_1,\cdots,x_n)|x_1,x_ 2,\cdots,x_n \rangle\)를 얻을 수 있고, 이 때 고유값은 다음과 같다

\[ E=L+\sum_{j=1}^{n}(2\cos k_j-2)=L-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\lambda_{i}^2+\frac{1}{4}} \]


베테안싸쯔 방정식의 예

n=1

\(\exp(ik_jL)=1\)


n=2

\(\exp(ik_1L)=-\frac{s_{2,1}}{s_{1,2}}=-\frac{1-2e^{ik_1}+ e^{ik_1+ik_2}}{1-2e^{ik_2}+ e^{ik_1+ik_2}}\)

\(\exp(ik_2L)=-\frac{s_{1,2}}{s_{2,1}}=-\frac{1-2e^{ik_2}+ e^{ik_1+ik_2}}{1-2e^{ik_1}+ e^{ik_1+ik_2}}\)


n=3

\(\exp(ik_1L)=\frac{s_{2,1}s_{3,1}}{s_{1,2}s_{1,3}}\)

\(\exp(ik_2L)=\frac{s_{1,2}s_{3,2}}{s_{2,1}s_{2,3}}\)

\(\exp(ik_3L)=\frac{s_{1,3}s_{2,3}}{s_{3,1}s_{3,2}}\)


계산 리소스 및 매스매티카 파일


관련된 항목들


리뷰논문, 에세이, 강의노트

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=하이젠베르크_스핀_1/2_XXX_모형의_좌표_베테_가설_풀이(coordinate_Bethe_ansatz)&oldid=33113"