"중심이항계수 (central binomial coefficient)"의 두 판 사이의 차이
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<math>2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math> 의 양변을 <math>2x</math>로 나눈뒤, 다음과 같은 적분을 구하자. | <math>2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}</math> 의 양변을 <math>2x</math>로 나눈뒤, 다음과 같은 적분을 구하자. | ||
| − | <math>\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}</math> | + | <math>\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}</math> |
우변으로부터 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}}</math>을 얻는다. | 우변으로부터 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}}</math>을 얻는다. | ||
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1</math> | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1</math> | ||
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<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55</math> | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55</math> | ||
| − | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355</math> | + | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355</math> |
| − | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067</math> | + | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067</math> |
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity | http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity | ||
| − | 일반적으로 | + | 일반적으로 <math>k\in\mathbb{N}</math>에 대하여, |
| − | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b</math> | + | <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b</math> , (a와 b는 유리수) 형태로 주어진다 |
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http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+log+%282x%29+*+%28arcsin+x%29%5E2%2Fx+dx+from+x%3D0+to+1%2F2 | http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+log+%282x%29+*+%28arcsin+x%29%5E2%2Fx+dx+from+x%3D0+to+1%2F2 | ||
| − | <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi(\frac{1}{3})-\psi(\frac{2}{3}))</math> | + | <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi(\frac{1}{3})-\psi(\frac{2}{3}))</math> |
여기서 <math>\psi</math>는 트리감마(trigamma)함수. [[다이감마 함수(digamma function)|다이감마와 폴리감마 함수(digamma and polygamma functions)]] 항목 참조 | 여기서 <math>\psi</math>는 트리감마(trigamma)함수. [[다이감마 함수(digamma function)|다이감마와 폴리감마 함수(digamma and polygamma functions)]] 항목 참조 | ||
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<h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif;">관련도서</h5> | <h5 style="BACKGROUND-POSITION: 0px 100%; FONT-SIZE: 1.16em; MARGIN: 0px; COLOR: rgb(34,61,103); LINE-HEIGHT: 3.42em; FONT-FAMILY: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif;">관련도서</h5> | ||
| + | * http://books.google.co.kr/books?id=C0HPgWhEssYC<br> | ||
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2010년 7월 12일 (월) 16:31 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 다음과 같은 이항계수로 정의
\({2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\)
급수와 중심이항계수
- 이항급수와 이항정리
\(\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n\) - 역삼각함수
\(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)
\(\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\) - 카탈란 수열(Catalan numbers) 의 생성함수
\(G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}{2n\choose n}x^n\)
중심이항계수가 나타나는 급수
- [Lehmer1985] 참조
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\)
(증명)
\(\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\) 에서 \(x=\frac{1}{2}\)인 경우, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\) 를 얻는다. ■
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\)
(증명)
\(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)에서 \(x=\frac{1}{2}\)인 경우, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\) 를 얻는다. ■
(Comtet의 공식)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\)
(증명)
\(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\) 의 양변을 \(2x\)로 나눈뒤, 다음과 같은 적분을 구하자.
\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}\)
우변으로부터 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}}\)을 얻는다.
한편
\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\) 이므로,
\(x=\sin\frac{t}{2}\)로 치환하면,
\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\) 를 얻는다.
따라서,
\(\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\) 이다.
이제 로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은 다음 결과를 사용하자.
\(\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}\)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\) 를 얻는다. ■
원주율의 유리수 근사와 중심이항계수
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067\)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity
일반적으로 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여,
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b\) , (a와 b는 유리수) 형태로 주어진다
리만제타함수
\(\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}\)
\(\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\)
\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi(\frac{1}{3})-\psi(\frac{2}{3}))\)
여기서 \(\psi\)는 트리감마(trigamma)함수. 다이감마와 폴리감마 함수(digamma and polygamma functions) 항목 참조
확인필요
좌변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity
(증명)
\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2}\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx\) ■
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Central_binomial_coefficient
- http://math world.wolfram.com/CentralBinomialCoefficient.html
- http://mathworld.wolfram.com/BinomialSums.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Experimental Determination of Apéry-like Identities for ζ(2n + 2)
- David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, and David M. Bradley
- Evaluations of binomial series
- Jonathan M. Borwein1 and Roland Girgensohn, 2004
- Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values
- J. M. Borwein, D. J. Broadhurst, J. Kamnitzer, 2000
- [Lehmer1985]Interesting Series Involving the Central Binomial Coefficient
- D. H. Lehmer, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 7 (Aug. - Sep., 1985), pp. 449-457
- On the series Σk = 1∞(k2k)−1 k−n and related sums
- I. J. Zucker, Journal of Number Theory, Volume 20, Issue 1, February 1985, Pages 92-102
- Some wonderful formulas ... an introduction to polylogarithms
- A.J. Van der Poorten, Queen's papers in Pure and Applied Mathematics, 54 (1979), 269-286
관련도서
관련기사
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