중심이항계수 (central binomial coefficient)

개요

다음과 같은 이항계수로 정의
\({2n \choose n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\)
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, ...
동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률을 표현할 때 등장
아페리가 Ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)를 증명하는데 활용됨

중심이항계수의 근사식

http://planetmath.org/encyclopedia/AsymptoticsOfCentralBinomialCoefficient.html
드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기 피타고라스의 창, 2008-7-12

동전을 2n 번 던질때, 앞뒷면이 각각 n 번 나올 확률은 수학적으로 다음과 같다.

\(\frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} = \frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}\)

한편 월리스의 공식에서 일반항은 다음과 같은데,

\(p_n ={1\over{2n+1}}\prod_{k=1}^{n} \frac{(2k)^4 }{((2k)(2k-1))^2}={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}\)

따라서

\(p_n ={1\over{2n+1}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}} \approx {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}\)

이는 월리스의 공식을 다음과 같은 방식으로도 쓸 수 있다는 것을 말해준다.

\(\frac{\pi}{2} =\lim_{n \to \infty} {1\over{2n}}\cdot {{2^{4n}\,(n!)^4}\over {((2n)!)^2}}\)
그리고 이는 다음을 말해준다.

\(\frac{1}{2^{2n}}{{(2n)!} \over {n!n!}}= \frac{1}{2^{2n}}{2n\choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}\)

급수와 중심이항계수

이항급수와 이항정리
\(\frac{1}{\sqrt{1-4z}}=\sum_{n=0}^{\infty} {{2n}\choose {n}} z^n\)
역삼각함수
\(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)
\(\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\)
\(\frac{4 \left(\sqrt{4-z}+\sqrt{z} \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{z}}{2}\right)\right)}{(4-z)^{3/2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{ {{2n}\choose {n}}}\)
카탈란 수열(Catalan numbers) 의 생성함수
\(G(x)= \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}{2n\choose n}x^n\)

중심이항계수가 나타나는 급수

[Lehmer1985] 참조

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\)

(증명)

\(\frac{2x \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\binom{2n}{n}}\) 에서 \(x=\frac{1}{2}\)인 경우, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{9}\) 를 얻는다. ■

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\)

(증명) \(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\)에서 \(x=\frac{1}{2}\)인 경우, \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}\)를 얻는다.■

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{2\pi}{3}\operatorname{Cl}_ 2(\frac{\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\pi\operatorname{Cl}_ 2(\frac{2\pi}{3})-\frac{4}{3}\zeta(3)=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)\)

여기서 \(\operatorname{Cl}_ 2(\theta)\) 는 로바체프스키와 클라우센 함수, \(\psi^{(1)}\)는 트리감마 함수(trigamma function).

(증명)

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A145438

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=4\int_{0}^{\frac{1}{2}}(\arcsin x)^2\frac{dx}{x}=-2\int_{0}^{\pi/3}x\log(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(arcsin+x)^2/x+dx+from+x%3D0+to+1/2

좌변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity

우변 http://www.wolframalpha.com/input/?i=-4*zeta(3)/3%2Bpi*sqrt(3)*(trigamma(1/3)-trigamma(2/3))/18 ■

(Comtet의 공식)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\)

(증명)

\(2(\arcsin x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\) 의 양변을 \(2x\)로 나눈뒤, 다음과 같은 적분을 구하자.

\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(2x)^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}}\,dx\,\frac{du}{u}=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(2u)^{2n}}{4n^3\binom{2n}{n}}\,\frac{du}{u}\)

우변으로부터 \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{8n^4\binom{2n}{n}}\)을 얻는다.

한편 \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{u}\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\,\frac{du}{u}=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\int_{x}^{\frac{1}{2}}\frac{(\arcsin x)^2}{xu}\,du\,dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx\) 이므로,

\(x=\sin\frac{t}{2}\)로 치환하면,

\(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\log 2x\frac{(\arcsin x)^2}{x}\,dx=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\)를 얻는다.

따라서,

\(\frac{1}{8}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx\) 이다.

이제 로그 사인 적분 (log sine integrals) 에서 얻은 다음 결과를 사용하자.

\(\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{6480}\)

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17\pi^4}{3240}\) 를 얻는다. ■

원주율의 유리수 근사와 중심이항계수

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{2}+1\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\pi+3\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{7\pi}{2}+11\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=\frac{35\pi}{2}+55\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^4 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=113\pi+355\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{5} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{1787\pi}{2}+2807\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{6} 2^{n}}{\binom{2n}{n}} = \frac{16717\pi}{2}+26259\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=229093376\pi+719718067\)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+1%2F%28m%5E3*binom%282m%2Cm%29%29+from+1+to+infinity

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+m^6*2^m/(binom(2m,m))+from+1+to+infinity

일반적으로 \(k\in\mathbb{N}\)에 대하여,

\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k} 2^{n}}{\binom{2n}{n}}=a\pi+b\) , (a와 b는 유리수) 형태로 주어진다. [Lehmer1985] 참조

리만제타함수

\(\zeta(2)=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}\)

\(\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\)

메모

역사

메모

[Lehmer1985]

에는 다음과 같은 공식이 나오지만, 잘못된 것이다.

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=-\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi\sqrt{3}}{72}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))\)

바른 공식은 다음과 같다.

\(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{18}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))-\frac{4}{3}\zeta(3)\)

여기서 \(\psi^{(1)}\)는 트리감마(trigamma)함수. 트리감마 함수(trigamma function)항목 참조

중심이항계수 (central binomial coefficient)

목차

개요

중심이항계수의 근사식

급수와 중심이항계수

중심이항계수가 나타나는 급수

원주율의 유리수 근사와 중심이항계수

리만제타함수

메모

역사

메모

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